3 Sea $S$ el conjunto de los puntos interiores de una esfera y sea $C$ el conjunto de los puntos interiores de una circunferencia. Determine, con demostración, si existe una función $f:S\rightarrow C$ tal que $d(A,B)\le d(f(A),f(B))$ para cualesquiera dos puntos $A,B\in S$ donde $d(X,Y)$ denota la distancia entre los puntos $X$ y $Y$ . Marius Cavachi

$p$$n$$G$$|G|=p^n$

3 Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos tales que un rectángulo de $m\times n$ puede ser embaldosado con L-trominós.

4 Cada uno de 2009 puntos distintos del plano está coloreado de azul o de rojo, de modo que en toda circunferencia unitaria centrada en un punto azul hay exactamente dos puntos rojos. Halle el mayor número posible de puntos azules.

2 Un paralelepípedo tiene área superficial 216 y volumen 216. Demuestre que es un cubo.

1 Una palabra de longitud $n$ es una sucesión ordenada $x_1x_2\ldots x_n$ donde $x_i$ es una letra del conjunto $\{ a,b,c \}$ . Denotemos por $A_n$ el conjunto de las palabras de longitud $n$ que no contienen ningún bloque $x_ix_{i+1}, i=1,2,\ldots ,n-1,$ de la forma $aa$ o $bb$ y por $B_n$ el conjunto de las palabras de longitud $n$ en las cuales ninguna de las subsucesiones $x_ix_{i+1}x_{i+2}, i=1,2,\ldots n-2,$ contiene todas las letras $a,b,c$ . Demuestre que $|B_{n+1}|=3|A_n|$ . Vasile Pop

1 Halle todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $a^2 -3 \cdot 2^b = 1$ .

4 El rectángulo $ABCD$ tiene lados $AB = 3$ , $BC = 2$ . El punto $ P$ sobre el lado $AB$ es tal que la bisectriz del ángulo $CDP$ pasa por el punto medio $M$ de $BC$ . Halle $BP$ .

6 Partiendo de una pirámide $T_0$ cuyas aristas son todas de longitud $2019$ , construimos la figura $T_1$ considerando los triángulos formados por los puntos medios de las aristas de cada cara de $T_0$ , construyendo en cada uno de estos nuevos triángulos pirámides con caras idénticas a la base. Luego se eliminan las bases de estas nuevas pirámides. La figura $T_2$ se construye aplicando el mismo proceso desde $T_1$ en cada cara triangular resultante de $T_1$ , y así sucesivamente para $T_3, T_4, ...$ Sea $D_0= \max \{d(x,y)\}$ , donde $x$ y $y$ son vértices de $T_0$ y $d(x,y)$ es la distancia entre $x$ y $y$ . Luego definimos $D_{n + 1} = \max \{d (x, y) |d (x, y) \notin \{D_0, D_1,...,D_n\}$ , donde $x, y$ son vértices de $T_{n+1}$ . Halle el valor de $D_n$ para todo $n$ .

3 Demuestre que todo número racional positivo puede representarse en la forma $\dfrac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}$ donde a,b,c,d son enteros positivos.