1 Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ de un triángulo $ABC$ . Sea la mediana $AM$ , que interseca la circunferencia inscrita de $ABC$ en $K$ y $L,K$ , estando este último más cerca de $A$ que $L$ . Si $AK = KL = LM$ , demuestre que los lados del triángulo $ABC$ están en la razón $5 : 10 : 13$ en algún orden.

3 Sean $p, q, r$ números reales positivos, no todos iguales, tales que dos de las ecuaciones \begin{eqnarray*} px^2 + 2qx + r &=& 0 \\ qx^2 + 2rx + p &=& 0 \\ rx^2 + 2px + q &=& 0 . \\ \end{eqnarray*} tienen una raíz común, digamos $\alpha$ . Demuestre que $a)$ $\alpha$ es real y negativo; $b)$ la tercera ecuación cuadrática restante tiene raíces no reales.

4 Todos los números posibles de $6$ dígitos, en cada uno de los cuales los dígitos aparecen en orden no creciente (de izquierda a derecha, p. ej. $877550$ ), se escriben como una sucesión en orden creciente. Halle el $2005$ -ésimo número de esta sucesión.

5 Sea $x_1$ un entero positivo dado. Una sucesión $\{x_n\}_ {n\geq 1}$ de enteros positivos es tal que $x_n$ , para $n \geq 2$ , se obtiene de $x_ {n-1}$ sumando algún dígito no nulo de $x_ {n-1}$ . Demuestre que a) la sucesión contiene un término par; b) la sucesión contiene infinitos términos pares.

6 (a) Demuestre que si $n$ es un entero tal que $n \geq 4011^2$ entonces existe un entero $l$ tal que \[ n < l^2 < (1 + \frac{1}{{2005}})n . \] (b) Halle el menor entero positivo $M$ para el cual, siempre que un entero $n$ cumpla $n \geq M$ , existe un entero $l$ tal que \[ n < l^2 < (1 + \frac{1}{{2005}})n . \]

6 Halle todas las funciones $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ tales que \[ f(x^2 + yf(z)) = xf(x) + zf(y) , \] para todo $x, y, z \in \mathbb{R}$ .

1 Sea $ABCD$ un paralelogramo. Suponga que una recta que pasa por $C$ y está fuera del paralelogramo corta a las prolongaciones de $AB$ y $AD$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Muestre que \[ AC^2 + CE \cdot CF = AB \cdot AE + AD \cdot AF . \]

3 Si $a,b,c$ son tres números reales y \[ a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} = c + \dfrac{1}{a} = t \] para algún número real $t$ , demuestre que $abc + t = 0 .$

4 En un cuadrado unitario se trazan cien segmentos desde el centro hasta los lados, dividiendo el cuadrado en cien partes (triángulos y posiblemente cuadriláteros). Si todas las partes tienen el mismo perímetro $p$ , muestre que $\dfrac{14}{10} < p < \dfrac{15}{10}$ .

5 Halle el número de arreglos $4 \times 4$ cuyas entradas pertenecen al conjunto $\{ 0 , 1, 2, 3 \}$ y que son tales que la suma de los números en cada una de las cuatro filas y en cada una de las cuatro columnas es divisible por $4$ .