A2 Sea $k\ge2$ un entero. Halle el menor entero $n \ge k+1$ con la propiedad de que existe un conjunto de $n$ números reales distintos tal que cada uno de sus elementos puede escribirse como suma de $k$ otros elementos distintos del conjunto.

A4 Sea $n \geqslant 3$ un entero, y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales en el intervalo $[0,1]$ . Sea $s=x_1+x_2+\ldots+x_n$ , y suponga que $s \geqslant 3$ . Demuestre que existen enteros $i$ y $j$ con $1 \leqslant i<j \leqslant n$ tales que \[2^{j-i}x_ix_j>2^{s-3}.\]

A7 Para un entero positivo $n$ denotamos por $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$ . Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ un polinomio, donde $n \geqslant 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leqslant i \leqslant n-1$ . ¿Podría ocurrir que, para todos los enteros positivos $k$ , $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad?

2 Halle todos los polinomios complejos $ P(x)$ tales que, para cualesquiera tres enteros $ a,b,c$ que satisfacen $ a + b + c\not = 0, \frac{P(a) + P(b) + P(c)}{a + b + c}$ es un entero. Fang-jh

Determine todos los enteros positivos $n$ que satisfacen: $n^2$ tiene al menos $4$ divisores positivos. Si $1=d_1<d_2<d_3<d_4$ son los primeros cuatro divisores positivos de $n^2$ , entonces \[ \frac1{d_2}=\frac1{d_3}+\frac1{d_4}+\frac1n. \]

A6 Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Denotamos por $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb R$ . Halle todos los números racionales $q$ tales que para toda función $f\in\mathcal F$ , existe algún $z\in\mathbb R$ que satisface $f(z)=qz$ .

1 Sean $ a > b > 1, b$ un número impar, y sea $ n$ un entero positivo. Si $ b^n|a^n-1,$ entonces $ a^b > \frac {3^n}{n}.$ Fang-jh

A1 Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una sucesión de números reales positivos con la propiedad de que $$(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$$ para todos los enteros positivos $n$ . Demuestre que $a_{2022}\leq 1$ .

A3 Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que para cada $x \in \mathbb{R}^+$ , existe exactamente un $y \in \mathbb{R}^+$ que satisface $$xf(y)+yf(x) \leq 2$$

N4 Halle todas las ternas $(a,b,p)$ de enteros positivos con $p$ primo y \[ a^p=b!+p. \]