31 Alrededor de una mesa circular, un número par de personas sostienen una discusión. Después de un descanso, se sientan nuevamente alrededor de la mesa circular en un orden diferente. Demuestre que hay al menos dos personas tales que el número de participantes sentados entre ellas antes y después del descanso es el mismo.

1 Sea $ n$ un entero positivo y sean $ a_1,a_2,a_3,\ldots,a_k$ $ ( k\ge 2)$ enteros distintos del conjunto $ { 1,2,\ldots,n}$ tales que $ n$ divide a $ a_i(a_{i + 1} - 1)$ para $ i = 1,2,\ldots,k - 1$ . Demuestre que $ n$ no divide a $ a_k(a_1 - 1).$ Propuesto por Ross Atkins, Australia

2 Sea $ ABC$ un triángulo con circuncentro $ O$ . Los puntos $ P$ y $ Q$ son puntos interiores de los lados $ CA$ y $ AB$ , respectivamente. Sean $ K,L$ y $ M$ los puntos medios de los segmentos $ BP,CQ$ y $ PQ$ , respectivamente, y sea $ \Gamma$ el círculo que pasa por $ K,L$ y $ M$ . Suponga que la recta $ PQ$ es tangente al círculo $ \Gamma$ . Demuestre que $ OP = OQ.$ Propuesto por Sergei Berlov, Rusia

3 Suponga que $ s_1,s_2,s_3, \ldots$ es una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones \[s_{s_1},\, s_{s_2},\, s_{s_3},\, \ldots\qquad\text{and}\qquad s_{s_1+1},\, s_{s_2+1},\, s_{s_3+1},\, \ldots\] son ambas progresiones aritméticas. Demuestre que la sucesión $ s_1, s_2, s_3, \ldots$ es en sí misma una progresión aritmética. Propuesto por Gabriel Carroll, EE. UU.

4 Sea $ ABC$ un triángulo con $ AB = AC$ . Las bisectrices de los ángulos $ \angle C AB$ y $ \angle AB C$ cortan a los lados $ B C$ y $ C A$ en $ D$ y $ E$ , respectivamente. Sea $ K$ el incentro del triángulo $ ADC$ . Suponga que $ \angle B E K = 45^\circ$ . Halle todos los valores posibles de $ \angle C AB$ . Jan Vonk, Bélgica, Peter Vandendriessche, Bélgica y Hojoo Lee, Corea

7 Sea $n > 1$ un entero y sea $f(x) = x^n + 5 \cdot x^{n-1} + 3.$ Demuestre que no existen polinomios $g(x),h(x),$ cada uno con coeficientes enteros y grado al menos uno, tales que $f(x) = g(x) \cdot h(x).$

9 Sean $a,b,c,d$ cuatro números no negativos que satisfacen \[ a+b+c+d=1. \] Demuestre la desigualdad \[ a \cdot b \cdot c + b \cdot c \cdot d + c \cdot d \cdot a + d \cdot a \cdot b \leq \frac{1}{27} + \frac{176}{27} \cdot a \cdot b \cdot c \cdot d. \]

6 Sea $\mathbb{N} = \{1,2,3, \ldots\}$ . Determine si existe una función estrictamente creciente $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ con las siguientes propiedades: (i) $f(1) = 2$ ; (ii) $f(f(n)) = f(n) + n, (n \in \mathbb{N})$ .

8 Sean $c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}$ con $n \geq 2$ tales que \[ 0 \leq \sum^n_{i=1} c_i \leq n. \] Demuestre que podemos encontrar enteros $k_1, \ldots, k_n$ tales que \[ \sum^n_{i=1} k_i = 0 \] y \[ 1-n \leq c_i + n \cdot k_i \leq n \] para todo $i = 1, \ldots, n.$ Otra formulación: Sean $x_1, \ldots, x_n,$ con $n \geq 2$ números reales tales que \[ |x_1 + \ldots + x_n| \leq n. \] Demuestre que existen enteros $k_1, \ldots, k_n$ tales que \[ |k_1 + \ldots + k_n| = 0. \] y \[ |x_i + 2 \cdot n \cdot k_i| \leq 2 \cdot n -1 \] para todo $i = 1, \ldots, n.$ Para demostrar esto, denote $c_i = \frac{1+x_i}{2}$ para $i = 1, \ldots, n,$ etc.

5 $a > 0$ y $b$ , $c$ son enteros tales que $ac$ – $b^2$ es un entero positivo libre de cuadrados P. Por ejemplo, P podría ser $3*5$ , pero no $3^2*5$ . Sea $f(n)$ el número de pares de enteros $d, e$ tales que $ad^2 + 2bde + ce^2= n$ . Demuestre que $f(n)$ es finito y que $f(n) = f(P^{k}n)$ para todo entero positivo $k$ . Enunciado original: Sean $a,b,c$ enteros dados con $a > 0,$ $ac-b^2 = P = P_1 \cdots P_n$ donde $P_1 \cdots P_n$ son números primos (distintos). Sea $M(n)$ el número de pares de enteros $(x,y)$ para los cuales \[ ax^2 + 2bxy + cy^2 = n. \] Demuestre que $M(n)$ es finito y que $M(n) = M(P_k \cdot n)$ para todo entero $k \geq 0.$ Note que la " $n$ " en $P_N$ y la " $n$ " en $M(n)$ no tienen por qué ser la misma. Fermat -Euler