1 $ a,b,c,d,e,f $ son números reales. Se cumple que: $ a+b+c+d+e+f=20 $ $ (a-2)^2+(b-2)^2+...+(f-2)^2=24 $ Encuentre el valor máximo de d.

10.9 Se da un entero positivo $k$ . Se eligen $n$ puntos sobre una recta, tales que la distancia entre dos puntos adyacentes cualesquiera es la misma. Los puntos se colorean con $k$ colores. Para cada par de puntos monocromáticos tales que no haya puntos del mismo color entre ellos, registramos la distancia entre estos dos puntos. Si todas las distancias son distintas, halle el mayor $n$ posible.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Suponga que los puntos $Q, A, B, P$ son colineales en ese orden, de tal manera que la recta $AC$ es tangente a la circunferencia $ADQ$ y la recta $BD$ es tangente a la circunferencia $BCP$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AD$ , respectivamente. Demuestre que las siguientes tres rectas son concurrentes: la recta $CD$ , la tangente a la circunferencia $ANQ$ en el punto $A$ , y la tangente a la circunferencia $BMP$ en el punto $B$ . ike.chen

2 Una escalera-ladrillo con 3 escalones de ancho 2 está hecha de 12 cubos unitarios. Determina todos los enteros $ n$ para los cuales es posible construir un cubo de lado $ n$ usando tales ladrillos.

G1 Sea $\omega$ un círculo con centro $O$ y sea $A$ un punto fuera de $\omega$. Las tangentes desde $A$ tocan a $\omega$ en los puntos $B$ y $C$. Sea $D$ el punto donde la recta $AO$ interseca al círculo tal que $O$ está entre $A$ y $D$. Denota por $X$ la proyección ortogonal de $B$ sobre $CD$, por $Y$ el punto medio del segmento $BX$ y por $Z$ el segundo punto de intersección de la recta $DY$ con $\omega$. Demuestra que $ZA$ y $ZC$ son perpendiculares entre sí.

10.8 La bisectriz de $\angle BAD$ de un paralelogramo $ABCD$ corta a $BC$ en $K$ . El punto $L$ está sobre $AB$ tal que $AL=CK$ . Las rectas $AK$ y $CL$ se cortan en $M$ . Sea $(ALM)$ que corta a $AD$ después de $D$ en $N$ . Demuestre que $\angle CNL=90^{o}$

10.6 Igual que 9.6

2 Elisa tiene $2023$ cofres del tesoro, todos abiertos y vacíos al principio. Cada día, Elisa agrega una gema nueva a uno de los cofres abiertos de su elección y, después, un hada actúa de acuerdo con las siguientes reglas: si hay más de un cofre abierto, cierra uno de ellos, o si solo hay un cofre abierto, abre todos los cofres. Dado que este proceso continúa para siempre, demuestre que existe una constante $C$ con la siguiente propiedad: Elisa puede asegurar que la diferencia entre los números de gemas de cualesquiera dos cofres nunca exceda $C$ , sin importar cómo elija el hada los cofres que abre.

10.5 En un triángulo $ABC$ , sea $BD$ su altura y sea $H$ su ortocentro. La mediatriz de $HD$ corta a $(BCD)$ en $P, Q$ . Demuestre que $\angle APB+\angle AQB=180^{o}$

C2 Una configuración de $4027$ puntos en el plano se llama colombiana si consta de $2013$ puntos rojos y $2014$ puntos azules, y no hay tres puntos de la configuración colineales. Al trazar algunas rectas, el plano queda dividido en varias regiones. Una disposición de rectas es buena para una configuración colombiana si se satisfacen las siguientes dos condiciones: i) Ninguna recta pasa por un punto de la configuración. ii) Ninguna región contiene puntos de ambos colores. Halle el menor valor de $k$ tal que para cualquier configuración colombiana de $4027$ puntos exista una disposición buena de $k$ rectas. Propuesto por Ivan Guo, de Australia