3 3. Ocho granjeros tienen un campo cuadriculado de $8 \times 8$ . Hay una valla a lo largo del borde del campo. Todo el campo está completamente cubierto de bayas (hay una baya en cada punto del campo, excepto en los puntos de la valla). Los granjeros dividieron el campo a lo largo de las líneas de la cuadrícula en 8 parcelas de igual área (cada parcela es un polígono), pero no demarcaron sus fronteras. Cada granjero cuida solo las bayas del interior de su propia parcela (no las de sus fronteras). Un granjero notará una pérdida solo si al menos dos bayas desaparecieron dentro de su parcela. Hay un cuervo que sabe todo lo anterior, excepto la ubicación de las fronteras de las parcelas. ¿Puede el cuervo llevarse 9 bayas del campo de modo que, con seguridad, ningún granjero lo note? Tatiana Kazitsyna

5 Encuentra todos los números \(n \geq 4\) tales que existe un poliedro convexo con exactamente \(n\) caras, cuyas caras son todas triángulos rectángulos. (Nota que el ángulo entre cualquier par de caras adyacentes en un poliedro convexo es menor que \(180^\circ\).) Propuesto por Hesam Rajabzadeh

4 $P_1,P_2,\ldots,P_{100}$ son $100$ puntos en el plano, sin tres de ellos colineales. Para cada tres puntos, llama a su triángulo horario si el orden creciente de ellos está en sentido horario. ¿Puede el número de triángulos horarios ser exactamente $2017$? Propuesto por Morteza Saghafian

3 En el pentágono regular $ABCDE$, la perpendicular en $C$ a $CD$ corta a $AB$ en $F$. Demuestra que $AE+AF=BE$. Propuesto por Alireza Cheraghi

1 Cada lado del cuadrado $ABCD$ de lado $4$ se divide en partes iguales mediante tres puntos. Elige uno de los tres puntos de cada lado y conecta los puntos consecutivamente para obtener un cuadrilátero. ¿Qué números pueden ser el área de este cuadrilátero? Escribe solo los números sin demostración.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $A=60^{\circ}$. Sean $E,F$ los pies de las alturas trazadas desde $B,C$ respectivamente. Demuestra que $CE-BF=\tfrac{3}{2}(AC-AB)$ Propuesto por Fatemeh Sajadi

2 Dos círculos $\omega_1,\omega_2$ se intersectan en $A,B$. Una recta arbitraria que pasa por $B$ corta a $\omega_1,\omega_2$ en $C,D$ respectivamente. Los puntos $E,F$ se eligen sobre $\omega_1,\omega_2$ respectivamente de modo que $CE=CB,\ BD=DF$. Supón que $BF$ corta a $\omega_1$ en $P$, y $BE$ corta a $\omega_2$ en $Q$. Demuestra que $A,P,Q$ son colineales. Propuesto por Iman Maghsoudi

3 En el plano, se dan $n$ puntos ($n>2$). No hay tres de ellos colineales. Por cada par de ellos se traza la recta, y entre los otros puntos dados, se marca el más cercano a esta recta (en cada caso este punto resultó ser único). ¿Cuál es el número máximo posible de puntos marcados para cada $n$ dado? Propuesto por Boris Frenkin (Rusia)

4 En el triángulo isósceles $ABC$ ( $AB=AC$ ), sea $l$ una recta paralela a $BC$ que pasa por $A$. Sea $D$ un punto arbitrario sobre $l$. Sean $E,F$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ a $BD,CD$ respectivamente. Supón que $P,Q$ son las proyecciones de $E,F$ sobre $l$. Demuestra que $AP+AQ\le AB$ Propuesto por Morteza Saghafian

3 Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. La recta $CO$ interseca la altura desde $A$ en el punto $K$. Sean $P,M$ los puntos medios de $AK$, $AC$ respectivamente. Si $PO$ interseca a $BC$ en $Y$, y la circunferencia circunscrita del triángulo $BCM$ corta a $AB$ en $X$, demuestra que $BXOY$ es cíclico. Propuesto por Ali Daeinabi - Hamid Pardazi