Demuestra que para cada entero positivo \( n \) existen \( n \) enteros positivos consecutivos, ninguno de los cuales es una potencia entera de un número primo.

6 Sea $n\ge 1$ un entero impar. Alicia y Bob juegan al siguiente juego, turnándose, y Alicia juega primero. El área de juego consiste en $n$ espacios, dispuestos en una línea. Inicialmente todos los espacios están vacíos. En cada turno, un jugador o bien • coloca una piedra en un espacio vacío, o bien • retira una piedra de un espacio no vacío $s$, coloca una piedra en el espacio vacío más cercano a la izquierda de $s$ (si tal espacio existe), y coloca una piedra en el espacio vacío más cercano a la derecha de $s$ (si tal espacio existe). Además, un movimiento solo se permite si la posición resultante no ha ocurrido previamente en el juego. Un jugador pierde si no puede mover. Suponiendo que ambos jugadores juegan de manera óptima durante todo el juego, ¿qué movimientos puede hacer Alicia en su primer turno? Kent

1 Sea $S$ una clase de funciones de $[0,\infty)$ a $[0,\infty)$ que satisface: (i) Las funciones $f_1(x)=e^x-1$ y $f_2(x)=\ln(x+1)$ están en $S;$ (ii) Si $f(x)$ y $g(x)$ están en $S,$ las funciones $f(x)+g(x)$ y $f(g(x))$ están en $S;$ (iii) Si $f(x)$ y $g(x)$ están en $S$ y $f(x)\ge g(x)$ para todo $x\ge 0,$ entonces la función $f(x)-g(x)$ está en $S.$ Demuestra que si $f(x)$ y $g(x)$ están en $S,$ entonces la función $f(x)g(x)$ también está en $S.$ Kent

2 Sea $*$ una operación binaria conmutativa y asociativa sobre un conjunto $S.$ Supón que para todo $x$ y $y$ en $S,$ existe $z$ en $S$ tal que $x*z=y.$ (Este $z$ puede depender de $x$ y de $y.$) Demuestra que si $a,b,c$ están en $S$ y $a*c=b*c,$ entonces $a=b.$ Kent

3 Un torneo de todos contra todos entre $2n$ equipos duró $2n-1$ días, de la siguiente manera. Cada día, cada equipo jugó un partido contra otro equipo, con un equipo ganando y un equipo perdiendo en cada uno de los $n$ partidos. Durante el torneo, cada equipo jugó contra cada otro equipo exactamente una vez. ¿Se puede elegir necesariamente un equipo ganador de cada día sin elegir a ningún equipo más de una vez? Kent

Sean $q$ y $r$ enteros con $q>0$, y sean $A$ y $B$ intervalos en la recta real. Sea $T$ el conjunto de todos los $b+mq$ donde $b$ y $m$ son enteros con $b$ en $B$, y sea $S$ el conjunto de todos los enteros $a$ en $A$ tales que $ra$ está en $T$. Muestra que si el producto de las longitudes de $A$ y $B$ es menor que $q$, entonces $S$ es la intersección de $A$ con alguna progresión aritmética. Kent

5 Sea $\mathbb{F}_p$ el cuerpo de los enteros módulo un primo $p,$ y sea $n$ un entero positivo. Sea $v$ un vector fijo en $\mathbb{F}_p^n,$ sea $M$ una matriz $n\times n$ con entradas en $\mathbb{F}_p,$ y define $G:\mathbb{F}_p^n\to \mathbb{F}_p^n$ por $G(x)=v+Mx.$ Sea $G^{(k)}$ la composición $k$-veces de $G$ consigo misma, es decir, $G^{(1)}(x)=G(x)$ y $G^{(k+1)}(x)=G(G^{(k)}(x)).$ Determina todos los pares $p,n$ para los cuales existen $v$ y $M$ tales que los $p^n$ vectores $G^{(k)}(0),$ $k=1,2,\dots,p^n$ son distintos.

6 Sea $p$ un número primo impar tal que $p\equiv 2\pmod{3}.$ Define una permutación $\pi$ de las clases de residuos módulo $p$ por $\pi(x)\equiv x^3\pmod{p}.$ Demuestra que $\pi$ es una permutación par si y solo si $p\equiv 3\pmod{4}.$

A1 Define una espiral creciente en el plano como una sucesión de puntos con coordenadas enteras $P_0=(0,0),P_1,\dots,P_n$ tal que $n\ge 2$ y: • Los segmentos de recta dirigidos $P_0P_1,P_1P_2,\dots,P_{n-1}P_n$ están en direcciones coordenadas sucesivas este (para $P_0P_1$), norte, oeste, sur, este, etc. • Las longitudes de estos segmentos son positivas y estrictamente crecientes. \[\begin{picture}(200,180) \put(20,100){\line(1,0){160}} \put(100,10){\line(0,1){170}} \put(0,97){West} \put(180,97){East} \put(90,0){South} \put(90,180){North} \put(100,100){\circle{1}}\put(100,100){\circle{2}}\put(100,100){\circle{3}} \put(115,100){\circle{1}}\put(115,100){\circle{2}}\put(115,100){\circle{3}} \put(115,130){\circle{1}}\put(115,130){\circle{2}}\put(115,130){\circle{3}} \put(40,130){\circle{1}}\put(40,130){\circle{2}}\put(40,130){\circle{3}} \put(40,20){\circle{1}}\put(40,20){\circle{2}}\put(40,20){\circle{3}} \put(170,20){\circle{1}}\put(170,20){\circle{2}}\put(170,20){\circle{3}} \multiput(100,99.5)(0,.5){3}{\line(1,0){15}} \multiput(114.5,100)(.5,0){3}{\line(0,1){30}} \multiput(40,129.5)(0,.5){3}{\line(1,0){75}} \multiput(39.5,20)(.5,0){3}{\line(0,1){110}} \multiput(40,19.5)(0,.5){3}{\line(1,0){130}} \put(102,90){P0} \put(117,90){P1} \put(117,132){P2} \put(28,132){P3} \put(30,10){P4} \put(172,10){P5} \end{picture}\] ¿Cuántos de los puntos $(x,y)$ con coordenadas enteras $0\le x\le 2011,0\le y\le 2011$ no pueden ser el último punto, $P_n,$ de ninguna espiral creciente? Kent

Sean $a_1,a_2,\dots$ y $b_1,b_2,\dots$ sucesiones de números reales positivos tales que $a_1=b_1=1$ y $b_n=b_{n-1}a_n-2$ para $n=2,3,\dots.$ Supón que la sucesión $(b_j)$ está acotada. Demuestra que \[S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_1\cdots a_n}\] converge, y calcula $S.$