7 Para ciertos pares ordenados $(a,b)$ de números reales, el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} && ax+by =1\\ &&x^2+y^2=50 \end{eqnarray*} tiene al menos una solución, y cada solución es un par ordenado $(x,y)$ de enteros. ¿Cuántos pares ordenados $(a,b)$ de este tipo existen?

Los puntos $(0,0)$, $(a,11)$ y $(b,37)$ son los vértices de un triángulo equilátero. Encuentra el valor de $ab$.

9 Se juega un juego de solitario de la siguiente manera. Se colocan en una bolsa seis pares distintos de fichas emparejadas. El jugador saca fichas al azar una a la vez de la bolsa y las conserva, excepto que las fichas que coinciden se apartan tan pronto como aparecen en la mano del jugador. El juego termina si el jugador alguna vez tiene tres fichas, de las cuales no hay dos que coincidan; de lo contrario, el sorteo continúa hasta que la bolsa quede vacía. La probabilidad de que la bolsa se vacíe es $p/q,$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos relativamente primos. Encuentra $p+q.$

10 En el triángulo \(ABC,\) el ángulo \(C\) es recto y la altura desde \(C\) interseca a \(\overline{AB}\) en \(D.\) Las longitudes de los lados del triángulo \(ABC\) son enteros, \(BD=29^3,\) y \(\cos B=m/n,\) donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \(m+n.\)

11 Noventa y cuatro ladrillos, cada uno de $4''\times10''\times19'',$ se van a apilar uno encima de otro para formar una torre de 94 ladrillos de altura. Cada ladrillo puede orientarse de modo que contribuya $4''$ o $10''$ o $19''$ a la altura total de la torre. ¿Cuántas alturas diferentes de torre se pueden lograr usando los 94 ladrillos?

12 Un campo rectangular cercado mide 24 metros por 52 metros. Un investigador agrícola tiene 1994 metros de cerca que puede usar para cercado interno y así dividir el campo en parcelas de prueba cuadradas y congruentes. Todo el campo debe quedar dividido, y los lados de los cuadrados deben ser paralelos a los bordes del campo. ¿Cuál es el mayor número de parcelas de prueba cuadradas en las que se puede dividir el campo usando todo o parte de los 1994 metros de cerca?

4 ¿Cuántas cuádruplas ordenadas de enteros $(a,b,c,d)$ con $0 < a < b < c < d < 500$ satisfacen $a + d = b + c$ y $bc - ad = 93$?

3 Halle todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que para todos los números naturales $m,n$: $f(n)+2mn+f(m)$ es un cuadrado perfecto.

6 ¿Cuál es el entero positivo más pequeño que se puede expresar como la suma de nueve enteros consecutivos, la suma de diez enteros consecutivos y la suma de once enteros consecutivos?

2 Durante una reciente campaña electoral, un candidato hizo un recorrido por un país que suponemos está en un plano. El primer día del recorrido fue hacia el este, el segundo día hacia el norte, el tercer día hacia el oeste, el cuarto día hacia el sur, el quinto día hacia el este, etc. Si el candidato recorrió $n^2/2$ millas en el $n^{\text{th}}$ día de este recorrido, ¿a cuántas millas estaba de su punto de partida al final del día $40$?