1 Los números $1$ a $1024$ se escriben uno por casilla en un tablero de $32 \times 32$ , de modo que la primera fila sea $1, 2, ... , 32$ , la segunda fila $33, 34, ... , 64$ y así sucesivamente. Luego el tablero se divide en cuatro tableros de $16 \times 16$ y la posición de estos tableros se rota en el sentido de las manecillas del reloj, de modo que $AB$ pasa a $DA$ $DC \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \, CB$ ; después cada uno de los tableros de $16 \times 16 $ se divide en cuatro partes iguales de $8 \times 8$ y cada una de estas se rota de la misma manera (dentro del tablero de $ 16 \times 16$ ). Luego cada uno de los tableros de $8 \times 8$ se divide en cuatro partes de $4 \times 4$ y estas se rotan; después cada tablero de $4 \times 4$ se divide en partes de $2 \times 2$ que se rotan, y finalmente las casillas de cada parte de $2 \times 2$ se rotan. ¿Qué números quedan en la diagonal principal (de la esquina superior izquierda a la inferior derecha)?

3 Sea $n$ un entero positivo. ¿Tiene $n^2$ más divisores positivos de la forma $4k+1$ o de la forma $4k-1$ ?

2 $ABCD$ es un paralelogramo. $K$ es la circunferencia circunscrita de $ABD$ . Las rectas $BC$ y $CD$ cortan de nuevo a $K$ en $E$ y $F$ . Demuestre que el circuncentro de $CEF$ está sobre $K$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo, sean ${A}'$ , ${B}'$ , ${C}'$ las proyecciones ortogonales de los vértices $A$ , $B$ , $C$ sobre las rectas $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente, y sea $X$ un punto sobre la recta $A{A}'$ . Sea $\gamma_{B}$ la circunferencia que pasa por $B$ y $X$ , con centro en la recta $BC$ , y sea $\gamma_{C}$ la circunferencia que pasa por $C$ y $X$ , con centro en la recta $BC$ . La circunferencia $\gamma_{B}$ corta a las rectas $AB$ y $B{B}'$ nuevamente en $M$ y ${M}'$ , respectivamente, y la circunferencia $\gamma_{C}$ corta a las rectas $AC$ y $C{C}'$ nuevamente en $N$ y ${N}'$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $M$ , ${M}'$ , $N$ y ${N}'$ son colineales.

2015 g6.3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB<CD$ , y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $BC$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $PCD$ interseca a la recta $AB$ en los puntos $Q$ y $R$ . Sean $S$ y $T$ los puntos donde las tangentes trazadas desde $P$ a la circunferencia circunscrita de $ABCD$ tocan dicha circunferencia. (a) Demuestre que $PQ=PR$ . (b) Demuestre que $QRST$ es un cuadrilátero cíclico.

2015 g5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$ y sean $D, E, F$ los pies de las alturas trazadas desde $A, B, C$ , respectivamente. Sea $ P$ el pie de la perpendicular trazada desde $ B$ sobre $DE$ y $Q$ el pie de la perpendicular trazada desde $C$ sobre $DF$ . Demuestre que $OD$ es perpendicular a $PQ$ .

4 Sean $a$ y $b$ enteros positivos no divisibles por $5$ . Se construye una sucesión de enteros como sigue: el primer término es $5$ , y cada término subsiguiente se obtiene multiplicando su antecesor por $a$ y sumando $b$ . (Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$ , los tres primeros términos son $5,14,32$ . ) ¿Cuál es el número máximo posible de primos que pueden aparecer antes de encontrar el primer término compuesto?

3 Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, el conjunto $A'$ se compone de los elementos de $A$ y de todos los enteros positivos que pueden obtenerse de la siguiente manera: escriba algunos elementos de $A$ uno tras otro sin repetir, coloque un signo $+ $ o $-$ delante de cada uno de ellos, y evalúe la expresión obtenida. El resultado se incluye en $A'$ . Por ejemplo, si $A = \{2,8,13,20\}$ , los números $8$ y $14 = 20-2+8$ son elementos de $A'$ . El conjunto $A''$ se construye a partir de $A'$ de la misma manera. Halle el menor número posible de elementos de $A$ , si $A''$ contiene todos los enteros del $1$ al $40$ .

2 Un triángulo de números se construye como sigue. La primera fila consiste en los números del $1$ al $2000$ en orden creciente, y debajo de cualesquiera dos números consecutivos se escribe su suma. (Véase abajo el ejemplo correspondiente a $5$ en lugar de $2000$ .) ¿Cuál es el número de la fila inferior? 1 2 3 4 5 3 5 7 9 8 12 16 20 28 4

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC = \angle ADC < 90^{\circ}$ . Las bisectrices interiores de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ cortan a $AC$ en $E$ y $F$ , respectivamente, y se cortan entre sí en el punto $P$ . Sea $M$ el punto medio de $AC$ y sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $BPD$ . Los segmentos $BM$ y $DM$ intersecan de nuevo a $\omega$ en $X$ y $Y$ , respectivamente. Denote por $Q$ el punto de intersección de las rectas $XE$ y $YF$ . Demuestre que $PQ \perp AC$ .