5 Los números $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, ... , \frac{1}{2010}$ están escritos en una pizarra. Un estudiante elige dos cualesquiera de los números, digamos $x$ , $y$ , los borra y luego escribe $x + y + xy$ . Continúa haciendo esto hasta que solo queda un número en la pizarra. ¿Cuál es este número?

1 En $\vartriangle ABC, \angle A= 2 \angle B$ . Sean $a,b,c$ las longitudes de sus lados $BC,CA,AB$ , respectivamente. Demuestre que $a^2 = b(b + c)$ .

2 El conjunto de los enteros de $2000$ dígitos se divide en dos conjuntos: el conjunto $M$ que consta de todos los enteros cada uno de los cuales puede representarse como el producto de dos enteros de $1000$ dígitos, y el conjunto $N$ que contiene a los demás enteros. ¿Cuál de los conjuntos $M$ y $N$ contiene más elementos?

3 Suponga que $\overline{a_1a_2...a_{2009}}$ es un entero de $2009$ dígitos tal que para cada $i = 1,2,...,2007$ , el entero de $2$ dígitos $\overline{a_ia_{i+1}}$ contiene $3$ factores primos distintos. Halle $a_{2008}$ (Nota: $\overline{xyz...}$ denota un entero cuyos dígitos son $x, y,z,...$ . )

2 Sean $A=\left\{\frac{2x+5}{3x-1}:x<0\right\}$ , $B=\left\{x:\frac{2x+5}{3x-1}<0\right\}$ . Halle $\sup A$ , $\inf A$ , $\sup B$ , $\inf B$ si existen. Justifique su respuesta.

3 Halle todos los números de 2 dígitos $ n$ que tienen la propiedad: «El número $n^2$ es un número de 4 dígitos de la forma $\overline{xxyy}$».

3 Sea $n$ un entero positivo, y sean $p$ y $q$ números primos tales que \[ pq \mid n^p+2 \quad \text{and} \quad n+2 \mid n^p+q^p. \] Demuestre que existe un entero positivo $m$ que satisface $q \mid 4^m \cdot n +2$.

1 Halle todos los números reales $(x,y)$ que satisfacen lo siguiente: $$x+\frac{3x-y}{x^2+y^2}=3$$ $$y-\frac{x+3y}{x^2+y^2}=0$$

Sea $n \geqslant 3$ un entero positivo y sea $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ una sucesión estrictamente creciente de $n$ números reales positivos con suma igual a 2. Sea $X$ un subconjunto de $\{1,2, \ldots, n\}$ tal que el valor de \[ \left|1-\sum_{i \in X} a_{i}\right| \] es mínimo. Demuestre que existe una sucesión estrictamente creciente de $n$ números reales positivos $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)$ con suma igual a 2 tal que \[ \sum_{i \in X} b_{i}=1. \] y-is-the-best-_

3 Halle todas las soluciones de la siguiente ecuación funcional: \[f(x^{2}+y+f(y))=2y+f(x)^{2}. \] Omid