1 Los números $1- \sqrt{2}$ , $\sqrt{2}$ y $1+\sqrt{2}$ están escritos en un pizarrón. Cada minuto, si $x, y, z$ son los números escritos, entonces se borran y se escriben los números $x^2 + xy + y^2$ , $y^2 + yz + z^2$ y $z^2 + zx + x^2$ . Determine si es posible que todos los números escritos sean números racionales después de un número finito de minutos.

3 Sea $n > 10$ un entero impar. Determine el número de maneras de colocar los números $1, 2, \ldots , n$ alrededor de una circunferencia de modo que cada número en la circunferencia divida a la suma de sus dos vecinos. (Dos configuraciones tales que una puede obtenerse de la otra mediante una rotación deben contarse solo una vez.)

4 Considere un triángulo isósceles $ABC$ con $AB = AC$ . Sea $\omega(XYZ)$ la circunferencia circunscrita del triángulo $XY Z$ . Las tangentes a $\omega(ABC)$ trazadas por $B$ y $C$ se cortan en el punto $D$ . El punto $F$ se marca en el arco $AB$ de $\omega(ABC)$ que no contiene a $C$ . Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BD$ , y $L$ el punto de intersección de las rectas $AB$ y $CF$ . Sean $T$ y $S$ los centros de las circunferencias $\omega(BLC)$ y $\omega(BLK)$ , respectivamente. Suponga que las circunferencias $\omega(BTS)$ y $\omega(CFK)$ son tangentes entre sí en el punto $P$ . Demuestre que $P$ pertenece a la recta $AB$ .

g2.1 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle B = 90^o$. Sea $P$ un punto sobre el lado $BC$, y sea $\omega$ la circunferencia con diámetro $CP$. Supón que $\omega$ interseca a $AC$ y a $AP$ nuevamente en $Q$ y $R$, respectivamente. Muestra que $CP^2 = AC \cdot CQ - AP \cdot PR$.

4 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen las condiciones \[f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y) \quad \text{for all } x,y \in \mathbb{R},\] y $f(-1) \neq 0$ .

1 El líder de un equipo de la IMO elige enteros positivos $n$ y $k$ con $n > k$ , y se los anuncia al líder adjunto y a un concursante. Luego, el líder le dice en secreto al líder adjunto una cadena binaria de $n$ dígitos, y el líder adjunto escribe todas las cadenas binarias de $n$ dígitos que difieren de la del líder en exactamente $k$ posiciones. (Por ejemplo, si $n = 3$ y $k = 1$ , y si el líder elige $101$ , el líder adjunto escribiría $001, 111$ y $100$ . ) Se le permite al concursante mirar las cadenas escritas por el líder adjunto y adivinar la cadena del líder. ¿Cuál es el número mínimo de intentos (en términos de $n$ y $k$ ) necesarios para garantizar la respuesta correcta?

2 Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC \neq BC$ y sea $I$ su incentro. La recta $BI$ corta a $AC$ en $D$ , y la recta que pasa por $D$ perpendicular a $AC$ corta a $AI$ en $E$ . Demuestre que el reflejo de $I$ respecto de $AC$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $BDE$ .

5 Sea $n$ un entero positivo. Un par de $n$ - uplas $(a_1,\cdots{}, a_n)$ y $(b_1,\cdots{}, b_n)$ con entradas enteras se llama un par exquisito si $$|a_1b_1+\cdots{}+a_nb_n|\le 1.$$ Determine el número máximo de $n$ - uplas distintas con entradas enteras tales que cualesquiera dos de ellas formen un par exquisito. Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia

4 Halle la menor constante $C > 0$ para la cual se cumple la siguiente afirmación: entre cualesquiera cinco números reales positivos $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ (no necesariamente distintos), siempre se pueden elegir subíndices distintos $i,j,k,l$ tales que \[ \left| \frac{a_i}{a_j} - \frac {a_k}{a_l} \right| \le C. \]

2 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ . Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz interna del ángulo $BAC$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sea $Z$ el punto de intersección de la mediatriz de $AC$ con la bisectriz externa del ángulo $\angle{BAC}$ . Demuestre que el punto medio del segmento $AB$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ADZ$ . Olimpiada de Matemáticas, Nicaragua