1 Sean $x_1,x_2,...,x_n$ ( $n \ge 2$ ) números positivos con suma $1$ . Demuestre que $$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-x_i}} \ge n\sqrt{\frac{n}{n-1}} $$

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con circuncentro $O$ . Sea $D$ el pie de la altura trazada desde $A$ al lado $BC$ . Las rectas $BC$ y $AO$ se intersecan en $E$ . Sea $s$ la recta que pasa por $E$ perpendicular a $AO$ . La recta $s$ interseca a $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Denote por $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AKL$ . La recta $AD$ interseca nuevamente a $\omega$ en $X$ . Demuestre que $\omega$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $DEX$ tienen un punto en común.

10 Un triángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $\mathcal{C}(O,R)$ . Sea $\alpha <1$ la razón de los radios de los círculos tangentes a $\mathcal{C}$ y a ambos rayos $(AB$ y $(AC$ . Los números $\beta <1$ y $\gamma <1$ se definen análogamente. Demuestre que $\alpha + \beta + \gamma =1$ .

Mugdho y Dipto juegan un juego en una fila numerada de $n \geq 5$ casillas. Al comienzo, se coloca una piedra en la primera casilla y luego los jugadores hacen movimientos consecutivos; comienza Mugdho. Durante un movimiento, un jugador puede elegir una de las siguientes opciones: mover la piedra una casilla hacia la derecha; mover la piedra cuatro casillas hacia la derecha; mover la piedra dos casillas hacia la izquierda. Todos los movimientos posibles solo están permitidos si la piedra permanece dentro de los bordes de la fila de casillas. El jugador que mueve la piedra a la última casilla (es decir, la $n$ -ésima) gana. Determine para qué valores de $n$ cada uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.

2 Cada entero positivo debe colorearse de rojo o de verde de modo que se cumplan las dos condiciones siguientes: - Sea $n$ cualquier número rojo. La suma de cualesquiera $n$ números rojos (no necesariamente distintos) es roja. - Sea $m$ cualquier número verde. La suma de cualesquiera $m$ números verdes (no necesariamente distintos) es verde. Determine todos los coloreos de este tipo.

5 Decimos que $p(x,y)\in \mathbb{R}\left[x,y\right]$ es bueno si para cualquier $y \neq 0$ se tiene $p(x,y) = p\left(xy,\frac{1}{y}\right)$ . Demuestre que existen polinomios buenos $r(x,y) ,s(x,y)\in \mathbb{R}\left[x,y\right]$ tales que para cualquier polinomio bueno $p$ existe un $f(x,y)\in \mathbb{R}\left[x,y\right]$ tal que \[f(r(x,y),s(x,y))= p(x,y)\] Propuesto por Mohammad Ahmadi

2 Decimos que dos sucesiones de números naturales A= ( $a_1,...,a_n$ ) , B= ( $b_1,...,b_n$ ) son intercambiables y escribimos $A\sim B$ si $503\vert a_i - b_i$ para todo $1\leq i\leq n$ . Además, para un número natural $r$ : $A^r$ = ( $a_1^r,a_2^r,...,a_n^r$ ) . Demuestre que existen números naturales $k,m$ tales que $i$ ) $250 \leq k $ $ii$ ) Existen permutaciones distintas $\pi _1,...,\pi_k$ de { $1,2,3,...,502$ } tales que para $1\leq i \leq k-1$ se tiene $\pi _i^m\sim \pi _{i+1}$ (15 puntos)

3 Sea un triángulo $ABC$ y las cevianas $AL, BN , CM$ tales que $AL$ es la bisectriz del ángulo $A$ . Si $\angle ALB = \angle ANM$ , demuestre que $\angle MNL = 90$ .

1 Demuestre que en el triángulo $ABC$ , el centro radical de sus excírculos se encuentra sobre la recta $GI$ , donde $G$ es el baricentro del triángulo $ABC$ e $I$ es el incentro. Omid

2 Un joyero cubre la diagonal de un cuadrado unitario con pequeños cuadrados dorados de la siguiente manera: - los lados de todos los cuadrados son paralelos a los lados del cuadrado unitario - para cada vecino, la longitud de su lado es la mitad o el doble de la de ese cuadrado (dos cuadrados son vecinos si comparten un vértice) - cada punto medio de un cuadrado está a una distancia del vértice del cuadrado unitario igual a $\dfrac12, \dfrac14, \dfrac18, ...$ de la diagonal. (por lo tanto, la longitud real: $\times \sqrt2$ ) - todos los puntos medios están sobre la diagonal (a) ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado del medio? (b) ¿Cuál es el área total dorada? https://1.bp.blogspot.com/-azJkAVACPvQ/XWuytNaj27I/AAAAAAAAKpo/C6C0NOzoQiYbFXfe41nNjNK8PEDvCxJ6wCK4BGAYYCw/s400/1993%2Bflanders%2Bp2.png