6 Para un triángulo \( ABC,\) sea \( k\) su circunferencia circunscrita con radio \( r.\) Las bisectrices de los ángulos internos \( A, B,\) y \( C\) del triángulo intersecan respectivamente a la circunferencia \( k\) nuevamente en los puntos \( A', B',\) y \( C'.\) Demuestra la desigualdad \[ 16Q^3 \geq 27 r^4 P,\] donde \( Q\) y \( P\) son las áreas de los triángulos \( A'B'C'\) y \(ABC\) respectivamente.

2 Halle todas las ternas $(a,b,p)$ donde $a,b$ son enteros positivos y $p$ es un número primo que satisfacen: $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

B3 Se eligen $x$ y $y$ al azar (con densidad uniforme) del intervalo $(0, 1)$. ¿Cuál es la probabilidad de que el entero más cercano a $x/y$ sea par?

B4 $K(x, y)$, $f(x)$ y $g(x)$ son positivas y continuas para $x, y \subseteq [0, 1]$. $\int_{0}^{1} f(y) K(x, y) dy = g(x)$ y $\int_{0}^{1} g(y) K(x, y) dy = f(x)$ para todo $x \subseteq [0, 1]$. Demuestra que $f = g$ en $[0, 1]$.

B5 Demuestra que, dados cualesquiera $4$ puntos en el plano, podemos encontrar dos cuya distancia entre ellos no sea un entero impar.

N2 Sea $n \in \mathbb{N}$ tal que $p=17^{2n}+4$ es primo. Demuestra que \begin{align*} p \mid 7^{\tfrac{p-1}{2}} +1 \end{align*}

B6 Sea $S$ un conjunto de tres enteros positivos, no necesariamente distintos. Demuestra que se puede transformar $S$ en un conjunto que contenga $0$ mediante un número finito de aplicaciones de la siguiente regla: Elige dos de los enteros $x$ y $y$, donde $x\leq y$, y reemplázalos por $2x$ y $y-x$.

A1 Encuentra todas las funciones \( f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) para las cuales se tiene \( f(0) = 1 \) y \( f(f(n)) = f(f(n+2)+2) = n \), para todo número natural \( n \).

Define $C(\alpha)$ como el coeficiente de $x^{1992}$ en la serie de potencias alrededor de $x = 0$ de $(1 + x)^{\alpha}$. Evalúa $$\int_{0}^{1} \left( C(-y-1) \sum_{k=1}^{1992} \frac{1}{y+k} \right)\, dy.$$

A3 Sean $m,n$ números naturales tales que $GCD(m,n)=1$. Encuentra todos los tripletes $(x,y,n)$ que satisfacen $(x^2+y^2)^m=(xy)^n$.