5 Dado el triángulo $ABC$ . Sean $P$ , $Q$ , $R$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ sobre los lados $AB$ , $BC$ , $AC$ , respectivamente. Tomamos la reflexión de estos puntos con respecto a los puntos medios de los lados en los que se encuentran, y los denotamos como $P',Q'$ y $R'$ . Demuestre que $AP'$ , $BQ'$ y $CR'$ son concurrentes.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $|AB|>|AC|$ . Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ tal que $\angle ACD=\angle CBD$ . Sea $E$ el punto medio del segmento $BD$ y sea $S$ el circuncentro del triángulo $BCD$ . Muestre que los puntos $A,E,S$ y $C$ se encuentran sobre una circunferencia .

2 Encuentra todos los enteros $n$ para los cuales cada celda de una tabla de $n \times n$ puede llenarse con una de las letras $I,M$ y $O$ de tal manera que: en cada fila y cada columna, un tercio de las entradas sean $I$, un tercio sean $M$ y un tercio sean $O$; y en cualquier diagonal, si el número de entradas en la diagonal es múltiplo de tres, entonces un tercio de las entradas sean $I$, un tercio sean $M$ y un tercio sean $O$. Nota. Las filas y columnas de una tabla de $n \times n$ están etiquetadas de $1$ a $n$ en orden natural. Así, cada celda corresponde a un par de enteros positivos $(i,j)$ con $1 \le i,j \le n$. Para $n>1$, la tabla tiene $4n-2$ diagonales de dos tipos. Una diagonal del primer tipo consiste en todas las celdas $(i,j)$ para las cuales $i+j$ es constante, y la diagonal del segundo tipo consiste en todas las celdas $(i,j)$ para las cuales $i-j$ es constante.

B3 Un grupo $G$ tiene elementos $g,h$ que satisfacen $ghg=hg^{2}h$, $g^{3}=1$ y $h^n=1$ para algún entero impar $n$. Demuestra que $h=e$, donde $e$ es el elemento identidad.

4 Se da la función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ para la cual $f(1)=1$ y para todo $x\in\mathbb{R}$ se cumple $f(x+5)\geq f(x)+5$ y $f(x+1)\leq f(x)+1$ . Si $g(x)=f(x)-x+1$ , halle $g(2016)$ .

G1 Sean $A$, $B$ y $C$ puntos sobre una circunferencia $\Gamma$ con centro $O$. Supón que $\angle ABC > 90$. Sea $D$ el punto de intersección de la recta $AB$ con la recta perpendicular a $AC$ en $C$. Sea $l$ la recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $AO$. Sea $E$ el punto de intersección de $l$ con la recta $AC$, y sea $F$ el punto de intersección de $\Gamma$ con $l$ que queda entre $D$ y $E$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BFE$ y $CFD$ son tangentes en $F$.

2 Se da una figura plana de área $A > n$, donde $n$ es un entero positivo. Demuestra que esta figura puede colocarse sobre un plano cartesiano de modo que cubra al menos $n+1$ puntos con coordenadas enteras.

2 Demuestre que no existe ninguna función $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tal que : $f(f(n-1)=f(n+1)-f(n)$ , para todo número natural $n\geq2$

2 Sea $n$ un entero positivo. Divide un triángulo equilátero de lado $n$ en triángulos equiláteros de lado uno. Aquí hay un ejemplo que se muestra abajo para $n = 4$: Etiqueta los pequeños triángulos equiláteros por los que pasa una de las alturas del triángulo equilátero grande como $a_1$, $a_2$, $...$, $a_n$ (mira la ilustración de arriba para ver cómo hacerlo en el caso de $n = 4$). Sea $f(i)$ el número de maneras de embaldosar el triángulo equilátero grande usando exactamente uno de cada uno tal que el triángulo $a_i$ se elimina. $\bullet$ Si $n$ es par, determina $f(2) + f(4) + ... + f(2k) + ...+ f(n)$. $\bullet$ Demuestra que $f(1) + f(2) + ... + f(n) \ge 2^{n-2}$, para todos los enteros positivos $n$. (Karlo Jokos)

2 Halle el menor entero positivo que no puede representarse como $\frac{2^a-2^b}{2^c-2^d}$ para algunos enteros positivos $a, b, c, d$ .