6 Determina todas las funciones \(f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R\) que satisfacen la condición \[f(y^2+2xf(y)+f(x)^2)=(y+f(x))(x+f(y))\] para todos los números reales \(x\) e \(y\).

2 Sean $D$ y $E$ puntos en el interior de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, de un triángulo $ABC$, tales que $DB = BC = CE$. Sean las rectas $CD$ y $BE$ que se cortan en $F$. Demuestra que el incentro $I$ del triángulo $ABC$, el ortocentro $H$ del triángulo $DEF$ y el punto medio $M$ del arco $BAC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ son colineales.

Tenemos 98 tarjetas, cada una etiquetada con un número distinto del $1$ al $98$. Queremos ordenar las 98 tarjetas en una secuencia $(a_1, a_2, \dots, a_{98})$ tal que para cada par de números consecutivos $X$ y $Y$ en la secuencia, $|X - Y| > 48$. Determina cuántas secuencias de este tipo existen y describe su estructura.

1 ¿Existen enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ tales que: a) $a^{2021} + b^{2023} = 11(c^{2022} + d^{2024})$ ; b) $a^{2022} + b^{2022} = 11(c^{2022} + d^{2022})$ ?

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $X$ un punto en su plano. Sean $M, N, P$ los pies de las perpendiculares desde $X$ a las rectas que contienen las alturas de $\triangle ABC$. Determina todas las posiciones de $X$ tales que $\triangle MNP$ sea congruente con $\triangle ABC$.

2 Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $X$ la intersección de la recta $HM$ con la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en el arco $BC$ que no contiene a $A$. Sea $Y$ la intersección de la recta $BH$ con la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$. Demuestra que $XY = BC$.

Un segmento \(AB\) de longitud \(100\) se divide en \(100\) segmentos pequeños de longitud \(1\) mediante \(99\) puntos intermedios. Al extremo \(A\) se le asigna \(0\) y al extremo \(B\) se le asigna \(1\). Gustavo asigna a cada uno de los \(99\) puntos intermedios un \(0\) o un \(1\), a su elección, y luego colorea cada segmento de longitud \(1\) de azul o rojo, respetando la siguiente regla: los segmentos que tienen el mismo número en sus extremos son rojos, y los segmentos que tienen números distintos en sus extremos son azules. Determina si Gustavo puede asignar los \(0\)'s y \(1\)'s para obtener exactamente \(30\) segmentos azules. ¿Y \(35\) segmentos azules? (En cada caso, si la respuesta es sí, muestra una distribución de \(0\)'s y \(1\)'s, y si la respuesta es no, explica por qué).

4 Dados enteros positivos $k$ , $n$ . Determine el máximo valor de $\lambda$ tal que \[\sum_{t=1}^n\frac{\lfloor x_t\rfloor ^2}{x_t}\ge\lambda\] se cumple para todos los $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_n>0$ con $x_1+x_2+\cdots+x_n=kn.$ Creado por Yiyan Lin

3 Demuestra que para al menos el $30\%$ de los números naturales $n$ entre $1$ y $10^6$, el primer dígito de $2^n$ es $1$.

4 Encuentra todas las funciones $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que \[f(x^2) - f(y^2) + 2x + 1 = f(x + y)f(x - y)\]