Comenzando en $(0,0),$ un objeto se mueve en el plano coordenado mediante una secuencia de pasos, cada uno de longitud uno. Cada paso es hacia la izquierda, derecha, arriba o abajo, todos igualmente probables. Sea $p$ la probabilidad de que el objeto llegue a $(2,2)$ en seis o menos pasos. Dado que $p$ se puede escribir en la forma $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n.$

3 La función $f$ tiene la propiedad de que, para cada número real $x,$ \[ f(x)+f(x-1) = x^2. \] Si $f(19)=94,$ ¿cuál es el residuo cuando $f(94)$ se divide entre 1000?

4 Encuentra el entero positivo $n$ para el cual \[ \lfloor \log_2{1}\rfloor+\lfloor\log_2{2}\rfloor+\lfloor\log_2{3}\rfloor+\cdots+\lfloor\log_2{n}\rfloor=1994. \] (Para $x$ real, $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero $\le x.$ )

La pirámide $OABCD$ tiene base cuadrada $ABCD$, aristas congruentes $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}$ y $\overline{OD}$, y $\angle AOB=45^\circ.$ Sea $\theta$ la medida del ángulo diedro formado por las caras $OAB$ y $OBC.$ Dado que $\cos \theta=m+\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros, encuentra $m+n.$

8 ¿Para cuántos pares ordenados de enteros positivos $(x,y)$, con $y<x\le 100$, son ambos $\frac xy$ y $\frac{x+1}{y+1}$ enteros?

La sucesión creciente $3, 15, 24, 48, \ldots$ está formada por aquellos múltiplos positivos de 3 que son uno menos que un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el residuo cuando el término 1994 de la sucesión se divide entre 1000?

11 Un prisma rectangular recto $P$ (es decir, un paralelepípedo rectangular) tiene lados de longitud entera $a, b, c,$ con $a\le b\le c.$ Un plano paralelo a una de las caras de $P$ corta a $P$ en dos prismas, uno de los cuales es semejante a $P,$ y ambos tienen volumen no nulo. Dado que $b=1995,$ ¿para cuántas ternas ordenadas $(a, b, c)$ existe tal plano?

El triángulo $ABC$ es isósceles, con $AB=AC$ y altura $AM=11.$ Supón que hay un punto $D$ sobre $\overline{AM}$ con $AD=10$ y $\angle BDC=3\angle BAC.$ Entonces el perímetro de $\triangle ABC$ puede escribirse en la forma $a+\sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros. Encuentra $a+b.$

13 Sea $f(n)$ el entero más cercano a $\sqrt[4]{n}.$ Encuentra $\sum_{k=1}^{1995}\frac 1{f(k)}.$

15 Sea $p$ la probabilidad de que, en el proceso de lanzar repetidamente una moneda justa, uno encuentre una racha de 5 caras antes de encontrar una racha de 2 cruces. Dado que $p$ se puede escribir en la forma $m/n$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n$.