5 Los números del $1$ al $n^2$ se escriben en orden en una cuadrícula de $n \times n$ , un número en cada casilla, de tal manera que la primera fila contiene los números del $1$ al $n$ de izquierda a derecha; la segunda fila contiene los números de $n + 1$ a $2n$ de izquierda a derecha, y así sucesivamente. Un movimiento permitido en la cuadrícula consiste en elegir dos casillas adyacentes cualesquiera (es decir, dos casillas que compartan un lado) y sumar (o restar) el mismo entero a ambos números que aparecen en esas casillas. Encuentre todos los valores de $n$ para los cuales es posible hacer que todas las casillas muestren $0$ después de realizar tantos movimientos como sea necesario y, para aquellos casos en los que sea posible, encuentre el número mínimo de movimientos necesarios para lograrlo.

6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, $l_1$ la paralela a $BC$ que pasa por $A$ , y $l_2$ la paralela a $AD$ que pasa por $B$ . La recta $DC$ interseca a $l_1$ y $l_2$ en $E$ y $F$ , respectivamente. La perpendicular a $l_1$ que pasa por $A$ interseca a $BC$ en $P$ , y la perpendicular a $l_2$ que pasa por $B$ corta a $AD$ en $Q$ . Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ las circunferencias que pasan por los vértices de los triángulos $ADE$ y $BFC$ , respectivamente. Demuestre que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son tangentes entre sí si y solo si $DP$ es perpendicular a $CQ$ .

3 Demuestre que: \[ \frac{1989}{2}-\frac{1988}{3}+\frac{1987}{4}-\cdots-\frac{2}{1989}+\frac{1}{1990}=\frac{1}{996}+\frac{3}{997}+\frac{5}{998}+\cdots+\frac{1989}{1990}\]

2 Sean $m$ , $n$ y $k$ enteros positivos, donde $ m \geqslant 2$ y $n\geqslant k \geqslant 2$ . Los números reales $x_1\geqslant x_2\geqslant \cdots \geqslant x_n\geqslant 0$ satisfacen las condiciones siguientes: \[ \begin{aligned} \textup{(i)} \quad& x_1^m+x_2^m+\cdots+x_n^m \geqslant 1 \\ \textup{(ii)} \quad & x_1+x_2+\cdots+x_n \leqslant k\end{aligned} \] Demuestre que $x_1+x_2+\cdots+x_k \geqslant 1$ .

1 Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias tangentes externamente en $S$ tales que el radio de $C_2$ es el triple del radio de $C_1$ . Sea una recta tangente a $C_1$ en $P \neq S$ y a $C_2$ en $Q \neq S$ . Sea $T$ un punto sobre $C_2$ tal que $QT$ es diámetro de $C_2$ . Sea la bisectriz del ángulo $\angle SQT$ que corta a $ST$ en $R$ . Demuestre que $QR=RT$

4 Sea $t > 10000$ un entero. Alice y Bob juegan el siguiente juego, con el objetivo de adivinar un entero positivo $N$ tal que $\tau(N) \le t^2+t+100$ . Aquí $\tau(N)$ denota el número de divisores positivos de $N$ . Primero, Alice elige un entero positivo $k$ y se lo comunica a Bob. Luego Bob encuentra un $N$ que satisface la condición, y le comunica a Alice el valor de $\tau(N)$ y $k$ divisores positivos distintos de $N$ . (Si $\tau(N) \leqslant k$ , Bob debe comunicar todos los divisores positivos de $N$; en caso contrario, puede elegir exactamente $k$ divisores positivos de $N$ a su favor.) Determine el menor $k$ tal que Alice garantiza que puede adivinar $N$ .

1 Sean $a,b,c>0$ tales que $a+b+c=3$ . Denote $S=a+ab+abc+bc+c$ . (1) Demuestre que $S\le 5$ . (2) Si $S=3$ , halle el posible valor de $b$ .

2 Sea $\bigtriangleup ABC$ un triángulo y $D$ el punto medio de $BC$ . Hay dos puntos $E,F$ que se encuentran sobre la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ , tales que $\angle AEB=\angle AFC=180^\circ -\angle BAC$ . $\odot (AFB)$ corta a $\odot (AEC)$ en $A$ y en otro punto $P$ . Demuestre que $A,P,D$ son colineales.

3 Sea el conjunto $A\subset\mathbb{N_+},|A|=n$ , defina $m=|\{x+yz|x,y,x\in A\}|$ . Demuestre que $m\geq n^2+n-1$ y que existe $A$ tal que $m=n^2+n-1$

4 Halle todos los enteros positivos $n$ con la propiedad siguiente: existe un múltiplo $N$ de $n$ tal que en su representación decimal contiene todos los dígitos del $0$ al $9$ , y para cualquier $i \in \{0, 1, 2, ... , 9\}$ , se puede eliminar un dígito $i$ de la representación decimal de $N$ de modo que el número resultante siga siendo un múltiplo de $n$ .