1 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC \neq 90^{\circ}.$ Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $BOC.$ Supón que $\Gamma$ interseca el segmento $AB$ en $P$ distinto de $B$, y el segmento $AC$ en $Q$ distinto de $C.$ Sea $ON$ el diámetro de la circunferencia $\Gamma.$ Demuestra que el cuadrilátero $APNQ$ es un paralelogramo.

1 Determine el menor número natural que puede representarse tanto como la suma de $2002$ enteros positivos con la misma suma de cifras decimales, como la suma de $2003$ enteros con la misma suma de cifras decimales.

C2 Un sitio es cualquier punto $(x, y)$ del plano tal que $x$ e $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales que 20. Inicialmente, cada uno de los 400 sitios está desocupado. Amy y Ben se turnan colocando piedras, comenzando Amy. En su turno, Amy coloca una nueva piedra roja en un sitio desocupado tal que la distancia entre cualesquiera dos sitios ocupados por piedras rojas no sea igual a $\sqrt{5}$ . En su turno, Ben coloca una nueva piedra azul en cualquier sitio desocupado. (Se permite que un sitio ocupado por una piedra azul esté a cualquier distancia de cualquier otro sitio ocupado.) Se detienen tan pronto como un jugador no puede colocar una piedra. Halle el mayor $K$ tal que Amy puede asegurar que coloca al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Ben coloque sus piedras azules. Propuesto por Gurgen Asatryan, Armenia

1 Encuentra todos los pares ordenados de enteros positivos $(x, y)$ tales que: $$x^3+y^3=x^2+42xy+y^2.$$

3 Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ tales que \[n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\] para todos $m,n\in \mathbb{N}$. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

Para cada entero positivo $k$ , sea $S(k)$ la suma de los dígitos de $k$ en el sistema decimal. Muestre que existe un entero $k$ , sin ningún $9$ en su representación decimal, tal que: $$S(2^{24^{2017}}k)=S(k)$$

5 Sean $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_{1993} = P_0$ puntos distintos en el plano $xy$ con las siguientes propiedades: (i) ambas coordenadas de $P_i$ son enteros, para $i = 1, 2, \ldots, 1993$; (ii) no hay ningún punto distinto de $P_i$ y $P_{i+1}$ sobre el segmento de recta que une a $P_i$ con $P_{i+1}$ cuyas coordenadas sean ambas enteras, para $i = 0, 1, \ldots, 1992$. Demuestra que para algún $i$, $0 \leq i \leq 1992$, existe un punto $Q$ con coordenadas $(q_x, q_y)$ sobre el segmento de recta que une a $P_i$ con $P_{i+1}$ tal que tanto $2q_x$ como $2q_y$ son enteros impares.

1 Halle todos los números reales $x, y$ tales que: $y+3\sqrt{x+2}=\frac{23}2+y^2-\sqrt{49-16x}$

4 Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales la ecuación \[ x^n + (2+x)^n + (2-x)^n = 0 \] tiene una solución entera.

3 Sean \begin{eqnarray*} f(x) & = & a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 \ \ \mbox{y} \\ g(x) & = & c_{n+1} x^{n+1} + c_n x^n + \cdots + c_0 \end{eqnarray*} polinomios no nulos con coeficientes reales tales que $g(x) = (x+r)f(x)$ para algún número real $r$. Si $a = \max(|a_n|, \ldots, |a_0|)$ y $c = \max(|c_{n+1}|, \ldots, |c_0|)$, demuestra que $\frac{a}{c} \leq n+1$.