A3 Sean $a, b, c, d$ números reales no negativos tales que \[\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=3.\] Demuestra que \[3(ab+bc+ca+ad+bd+cd)+\frac{4}{a+b+c+d}\leqslant 5.\] Vasile Cîrtoaje y Leonard Giugiuc

A1 Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[f(x(x + f(y))) = (x + y)f(x),\] para todo $x, y \in\mathbb{R}$ .

1 Dados $x,y,a\in \mathbb{R}$, $x+y=2a-4 $ y $xy=a^2-3a+5$. ¿Cuál es el valor mínimo de $x^2+y^2$?

C2 Alicia está dibujando una figura en un papel. Empieza colocando su lápiz en el origen, y luego dibuja segmentos de recta de longitud uno, alternando entre segmentos verticales y horizontales. Finalmente, su lápiz regresa al origen, formando una figura cerrada que no se interseca a sí misma. Demuestra que el área de esta figura es par si y solo si su perímetro es un múltiplo de ocho.

C3 Encuentra el mayor entero positivo $k{}$ para el cual existe un poliedro convexo $\mathcal{P}$ con 2022 aristas, que satisface las siguientes propiedades: Los grados de los vértices de $\mathcal{P}$ no difieren en más de uno, y es posible colorear las aristas de $\mathcal{P}$ con $k{}$ colores tal que para cada color $c{}$ , y cada par de vértices $(v_1, v_2)$ de $\mathcal{P}$ , existe un camino monocromático entre $v_1$ y $v_2$ en el color $c{}$ . Viktor Simjanoski, Macedonia

C4 Considera una cuadrícula de $n \times n$ formada por $n^2$ celdas unitarias, donde $n \geq 3$ es un entero positivo impar dado. Primero, Dionisio colorea cada celda de rojo o azul. Se sabe que una rana puede saltar de una celda a otra si y solo si estas celdas tienen el mismo color y comparten al menos un vértice. Luego, Xantias observa la coloración y coloca $k$ ranas en las celdas de modo que cada una de las $n^2$ celdas pueda ser alcanzada por una rana en un número finito (posiblemente cero) de saltos. Encuentra el menor valor de $k$ para el cual esto siempre es posible sin importar la coloración elegida por Dionisio. Propuesto por Tommy Walker Mackay, Reino Unido

C5 Dado un cubo de lado $2021$. ¿De cuántas maneras diferentes es posible añadir en algún lugar de la frontera de este cubo un cubo de $1\times 1\times 1$ de modo que la nueva figura pueda llenarse con piezas de $1\times 1\times k$, para algún número natural $k$, $k\geq 2$?

Determina todas las funciones \(f : \mathbb{R}^2 \to\mathbb {R}\) para las cuales \[f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0,\] siempre que \(A,B,C,D\) sean los vértices de un cuadrado de lado uno. Ilir Snopce

A4 Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ tales que $f(0)\neq 0$ y \[f(f(x)) + f(f(y)) = f(x + y)f(xy),\] para todo $x, y \in\mathbb{R}$ .

A5 Encuentra todas las funciones $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ tales que \begin{align*} f(y(f(x))^3 + x) = x^3f(y) + f(x) \end{align*} para todo $x, y>0$ . Propuesto por Jason Prodromidis, Grecia