25 Tres discos de diámetro $d$ tocan una esfera en sus centros. Además, cada disco toca a los otros dos discos. ¿Cómo debe elegirse el radio $R$ de la esfera para que el eje de toda la figura forme un ángulo de $60^\circ$ con la recta que une el centro de la esfera con el punto de los discos que se encuentra a la mayor distancia del eje? (El eje de la figura es la recta que tiene la propiedad de que una rotación de la figura de $120^\circ$ alrededor de dicha recta lleva la figura a su posición inicial. Los discos están todos a un mismo lado del plano que pasa por el centro de la esfera y es ortogonal al eje).

26 Halle todas las soluciones reales positivas de: \begin{eqnarray*} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5) &\le& 0 \\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1) &\le& 0 \\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2) &\le& 0 \\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3) &\le & 0 \\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4) &\le& 0 \\ \end{eqnarray*}

22 Demuestre que para cualquier $n \not \equiv 0 \pmod{10}$ existe un múltiplo de $n$ que no contiene el dígito $0$ en su expansión decimal. Amir

13 Dada una esfera $K$ , determine el conjunto de todos los puntos $A$ que son vértices de algunos paralelogramos $ABCD$ que satisfacen $AC \le BD$ y cuya diagonal completa $BD$ está contenida en $K$ .

16 Considere el conjunto $S$ de todos los enteros positivos impares distintos que no son múltiplos de $5$ y que son menores que $30m, m$ siendo un entero positivo. ¿Cuál es el menor entero $k$ tal que en cualquier subconjunto de $k$ enteros de $S$ debe haber dos enteros uno de los cuales divide al otro? Demuestre su resultado.

3 Sea $2n$ puntos ($n \ge 4$) dados en el plano en posición general. Cada punto debe usarse como extremo de exactamente un segmento. Demuestra que: (a) Es posible emparejar los puntos en $n$ segmentos de tal manera que todos los segmentos sean intersecados por una misma línea recta común. (b) También es posible emparejar los puntos en $n$ segmentos de tal manera que no exista una línea recta que interseque todos los segmentos.

12 Se da un círculo $k = (S, r)$ y un hexágono $AA'BB'CC'$ inscrito en él. Las longitudes de los lados del hexágono satisfacen $AA' = A'B, BB' = B'C, CC' = C'A$ . Demuestre que el área $P$ del triángulo $ABC$ no es mayor que el área $P'$ del triángulo $A'B'C'$ . ¿Cuándo se cumple $P = P'$?

26 Sea $ABCD$ un tetraedro regular. A un punto arbitrario $M$ sobre una arista, digamos $CD$ , le corresponde el punto $P = P(M)$ que es la intersección de dos rectas $AH$ y $BK$ , trazadas desde $A$ ortogonalmente a $BM$ y desde $B$ ortogonalmente a $AM$ . ¿Cuál es el lugar geométrico de $P$ cuando $M$ varía?

27 ¿Qué polígono regular puede obtenerse (y cómo) al cortar un cubo con un plano?

38 ¿Existe un entero tal que su cubo sea igual a $3n^2 + 3n + 7,$ donde $n$ es un entero?