4 ¿Toda bola hiperbólica tiene necesariamente un tetraedro hiperbólico circunscrito?

3 Demuestre que si $a+b+c=0$ , entonces $(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$ .

1 Dados $2005$ números $$1^2 \,\,\, 2^2 \,\,\,3^2 \,\,\,... \,\,\,2005^2$$ Cada uno de ellos puede ir precedido de $+$ o $-$ . ¿Cuál es el número no negativo más pequeño que se puede obtener al realizar las operaciones aritméticas?

4 La función $f(x)$ está definida para números positivos, toma valores positivos y satisface la ecuación $$ f(x)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{x}{y}\right).$$ a) Mencione al menos tres de tales funciones. b) Demuestre que $f(x) \ge 2$ , $f(1)=2$ . c) Demuestre que si $f(x)$ satisface la condición, entonces la función $f^2(x)-2$ también la satisface.

1 Resuelva el sistema de ecuaciones: $\left\{ \begin{aligned} x^4+y^2-xy^3-\frac{9}{8}x = 0 \\ y^4+x^2-yx^3-\frac{9}{8}y=0 \end{aligned} \right.$

2 Dos circunferencias son tangentes exteriormente en un punto $B$ . Una recta tangente a una de las circunferencias en un punto $A$ interseca a la otra circunferencia en los puntos $C$ y $D$ . Demuestre que $A$ es equidistante de las rectas $BC$ y $BD$ .

3 Dos vértices adyacentes de un cuadrado están sobre una circunferencia de radio $1$ . Denote por $M$ la distancia máxima que un vértice del cuadrado tiene desde el centro de la circunferencia. a) Demuestre que $\sqrt5 < M <\sqrt7$ b) Halle $M$ resultado $1+\sqrt2$

1 a) $k$ es un entero. Demuestre que el número $$(2k+1)^3-(2k-1)^3$$ puede expresarse como la suma de tres cuadrados de enteros. b) $n$ es un número natural. Demuestre que el número $$(2n+1)^3-2$$ puede expresarse como la suma de $3n-1$ elementos, cada uno de los cuales es el cuadrado de un número natural mayor que uno.

2 En un cuadrado blanco $7\times 7$ dividido en casillas unitarias, $29$ casillas están sombreadas. Demuestre que siempre es posible encontrar una «esquina» formada por tres casillas sombreadas.

4 Todos los ángulos de un nonadecágono dado (polígono de 19 lados) son múltiplos de $10^o$ . Demuestre que el nonadecágono tiene al menos un par de lados paralelos.