45 Dos personas, $X$ e $Y$ , juegan con un dado. $X$ gana una partida si el resultado es $1$ o $2$ ; $Y$ gana en los demás casos. Un jugador gana un encuentro si gana dos partidas consecutivas. Para cada jugador determine la probabilidad de ganar un encuentro dentro de $5$ partidas. Determine las probabilidades de ganar con un número ilimitado de partidas. Si $X$ apuesta $1$ , ¿cuánto debe apostar $Y$ para que el juego sea justo ? Amir

2 Si \[f(x) = (x + 2x^2 +\cdots+ nx^n)^2 = a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots+ a_{2n}x^{2n},\] demuestre que \[a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{2n} =\dbinom{n + 1}{2}\frac{5n^2 + 5n + 2}{12}\]

10 Dada la ecuación \[ 4x^3 + 4x^2y - 15xy^2 - 18y^3 - 12x^2 + 6xy + 36y^2 + 5x - 10y = 0,\] halle todas las soluciones enteras positivas.

Resuelve la ecuación $2\cdot 2^{[\log_2x]}-x=1989.25$ .

34 Considere diagramas infinitos [asy] import graph; size(90); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; label("$n_{00} \ n_{01} \ n_{02} \ldots$", (1.14,1.38), SE*lsf); label("$n_{10} \ n_{11} \ n_{12} \ldots$", (1.2,1.8), SE*lsf); label("$n_{20} \ n_{21} \ n_{22} \ldots$", (1.2,2.2), SE*lsf); label("$\vdots \quad \vdots \qquad \vdots $", (1.32,2.72), SE*lsf); draw((1,1)--(3,1)); draw((1,1)--(1.02,2.62)); clip((-4.3,-10.94)--(-4.3,6.3)--(16.18,6.3)--(16.18,-10.94)--cycle); [/asy] donde todos menos un número finito de los enteros $n_{ij} , i = 0, 1, 2, \ldots, j = 0, 1, 2, \ldots ,$ son iguales a $0$ . Tres elementos de un diagrama se denominan adyacentes si existen enteros $i$ y $j$ con $i \geq 0$ y $j \geq 0$ tales que los tres elementos son (i) $n_{ij}, n_{i,j+1}, n_{i,j+2},$ o (ii) $n_{ij}, n_{i+1,j}, n_{i+2,j} ,$ o (iii) $n_{i+2,j}, n_{i+1,j+1}, n_{i,j+2}.$ Una operación elemental sobre un diagrama es una operación mediante la cual tres elementos adyacentes $n_{ij}$ se cambian a $n_{ij}'$ de tal manera que $|n_{ij}-n_{ij}'|=1.$ Dos diagramas se denominan equivalentes si uno de ellos puede ser cambiado en el otro mediante una sucesión finita de operaciones elementales. ¿Cuántos diagramas no equivalentes existen? Amir

38 Los puntos $S(i, j)$ con coordenadas cartesianas enteras $0 < i \leq n, 0 < j \leq m, m \leq n$ , forman una retícula. Halle el número de: (a) rectángulos con vértices en la retícula y lados paralelos a los ejes de coordenadas; (b) cuadrados con vértices en la retícula y lados paralelos a los ejes de coordenadas; (c) cuadrados en total, con vértices en la retícula. Amir

62 $T$ es un triángulo dado con vértices $P_1,P_2,P_3$. Considera una subdivisión arbitraria de $T$ en un número finito de subtriángulos tal que ningún vértice de un subtriángulo esté estrictamente entre dos vértices de otro subtriángulo. A cada vértice $V$ de los subtriángulos se le asigna un número $n(V)$ de acuerdo con las siguientes reglas: $(\text{i})$ Si $V = P_i$, entonces $n(V) = i$. $(\text{ii})$ Si $V$ está sobre el lado $P_i P_j$ de $T$, entonces $n(V) = i$ o $j$. $(\text{iii})$ Si $V$ está dentro del triángulo $T$, entonces $n(V)$ es cualquiera de los números $1,2,3$. Demuestra que existe al menos un subtriángulo cuyos vértices están numerados $1, 2, 3$.

5 Las sucesiones $ a_0, a_1, \ldots$ y $ b_0, b_1, \ldots$ están definidas para $ n = 0, 1, 2, \ldots$ por las igualdades \[ a_0 = \frac {\sqrt {2}}{2}, \quad a_{n + 1} = \frac {\sqrt {2}}{2} \cdot \sqrt {1 - \sqrt {1 - a^2_n}} \] y \[ b_0 = 1, \quad b_{n + 1} = \frac {\sqrt {1 + b^2_n} - 1}{b_n} \] Demuestre las desigualdades para todo $ n = 0, 1, 2, \ldots$ \[ 2^{n + 2} a_n < \pi < 2^{n + 2} b_n. \]

52 Construya un triángulo escaleno tal que \[a(\tan B - \tan C) = b(\tan A - \tan C)\]

31 En cada cara lateral de una pirámide cuadrangular se inscribe un círculo. Los círculos inscritos en caras adyacentes son tangentes (tienen un punto en común). Demuestre que los puntos de contacto de los círculos con la base de la pirámide se encuentran sobre un círculo.