B3 El movimiento de las partículas de un fluido en el plano está especificado por las siguientes componentes de la velocidad $$\frac{dx}{dt}=y+2x(1-x^2 -y^2),\;\; \frac{dy}{dt}=-x.$$ Dibuja la forma de las trayectorias cerca del origen. Discute qué le sucede a una partícula individual cuando $t\to \infty$, y justifica tu conclusión.

2 Halle el menor número real $m$ tal que con cualesquiera $5$ triángulos equiláteros cuya suma de áreas sea $m$ se pueda cubrir un triángulo equilátero de lado 1. O. Mushkarov, N. Nikolov

2 El triángulo $ABC$ es tal que $\angle BAC=30^{\circ},\angle ABC=45^{\circ}$ . Demuestre que si $X$ se encuentra en el rayo $AC$ , $Y$ se encuentra en el rayo $BC$ y $OX=BY$ , donde $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ , entonces $S_{XY}$ pasa por un punto fijo. Emil Kolev

2 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n},\] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Demuestre que \[\sum_{k=1}^{n}[\alpha^{k}F_{k}+\frac{1}{2}]=F_{2n+1}\; \forall n>1.\] N.T.TUAN

15 Una tira larga y delgada de papel mide 1024 unidades de largo, 1 unidad de ancho, y está dividida en 1024 cuadrados unitarios. El papel se dobla por la mitad repetidamente. Para el primer doblez, el extremo derecho del papel se dobla sobre el izquierdo de modo que coincida y quede encima de él. El resultado es una tira de 512 por 1 de doble grosor. Luego, el extremo derecho de esta tira se dobla sobre el izquierdo de modo que coincida y quede encima de él, resultando en una tira de 256 por 1 de cuádruple grosor. Este proceso se repite 8 veces más. Después del último doblez, la tira se ha convertido en una pila de 1024 cuadrados unitarios. ¿Cuántos de estos cuadrados quedan debajo del cuadrado que originalmente era el cuadrado número 942 contando desde la izquierda?

6 Demuestre que para todo $X > 1$ existe un triángulo cuyos lados tienen longitudes $P_1(X) = X^4+X^3+2X^2+X+1, P_2(X) = 2X^3+X^2+2X+1$ , y $P_3(X) = X^4-1$ . Demuestre que todos estos triángulos tienen el mismo ángulo mayor y calcúlelo.

7 Demuestre que para todo entero positivo $k,$ existen finitamente muchos conjuntos $T$ que satisfacen las siguientes dos propiedades: $(1)T$ consta de finitamente muchos números primos; $(2)\textup{ }\prod_{p\in T} (p+k)$ es divisible por $ \prod_{p\in T} p.$

3 En una escuela primaria había $94$ estudiantes en $7$ -ésimo grado. Algunos estudiantes participan en actividades extracurriculares: lengua española, lengua alemana y deportes. Lengua española la estudian $40$ estudiantes fuera del programa escolar, lengua alemana $27$ estudiantes y $60$ estudiantes hacen deportes. De los estudiantes que hacen deportes, $24$ de ellos también van a lengua española. $10$ estudiantes que estudian español también estudian alemán. $12$ estudiantes que estudian alemán también hacen deportes. Solo $4$ estudiantes van a las tres actividades. ¿Cuántos de ellos hacen solo una de las actividades, y cuántos de ellos no van a ninguna actividad?

6 Dado un polinomio $p(x) = a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+...+a_1x+a_0$ de grado impar, cuyos coeficientes $a_0$ , $a_1$ , $...$ , $a_{2n}$ , $a_{2n+1}$ son todos positivos. Demuestre que sus coeficientes pueden permutarse de modo que el polinomio resultante tenga una sola raíz real.

4 En una pizarra están escritos $n$ ( $n \ge 3$ ) enteros. Cada segundo, el conjunto de números escritos se reemplaza por un nuevo conjunto de $n$ números de acuerdo con la siguiente regla. Primero se calcula la media aritmética $s$ de todos los números escritos. Después, algunos (posiblemente todos, o posiblemente ninguno) de los números mayores que $s + 1$ se disminuyen en uno, y algunos (posiblemente todos, posiblemente ninguno) de los números menores que $s-1$ se aumentan en uno. Los números restantes permanecen sin cambios. En este proceso, todos los números se reemplazan simultáneamente, y al menos uno de los números que difiere de $s$ en más de $1$ debe cambiar. Demuestre que después de algún tiempo los números de la pizarra no cambiarán.