1 Demuestre que para cualquier entero positivo $t,$ \[1+2^t+3^t+\cdots+9^t - 3(1 + 6^t +8^t )\] es divisible por $18.$ Amir

2 En el triángulo $ABC,$ tenemos $\angle A \leq 90^\circ$ y $\angle B = 2 \angle C.$ La bisectriz interior del ángulo $C$ interseca la mediana $AM$ en $D.$ Demuestre que $\angle MDC \leq 45^\circ.$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? [asy] import graph; size(200); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen qqqqzz = rgb(0,0,0.6); pen ffqqtt = rgb(1,0,0.2); pen qqwuqq = rgb(0,0.39,0); draw((3.14,5.81)--(3.23,0.74),ffqqtt+linewidth(2pt)); draw((3.23,0.74)--(9.73,1.32),ffqqtt+linewidth(2pt)); draw((9.73,1.32)--(3.14,5.81),ffqqtt+linewidth(2pt)); draw((9.73,1.32)--(3.19,2.88)); draw((3.14,5.81)--(6.71,1.05)); pair parametricplot0_cus(real t){ return (0.7*cos(t)+5.8,0.7*sin(t)+2.26); } draw(graph(parametricplot0_cus,-0.9270442638657642,-0.23350086562377703)--(5.8,2.26)--cycle,qqwuqq); dot((3.14,5.81),ds); label("$A$", (2.93,6.09),NE*lsf); dot((3.23,0.74),ds); label("$B$", (2.88,0.34),NE*lsf); dot((9.73,1.32),ds); label("$C$", (10.11,1.04),NE*lsf); dot((3.19,2.88),ds); label("$X$", (2.77,2.94),NE*lsf); dot((6.71,1.05),ds); label("$M$", (6.75,0.5),NE*lsf); dot((5.8,2.26),ds); label("$D$", (5.89,2.4),NE*lsf); label("$\alpha$", (6.52,1.65),NE*lsf); clip((-3.26,-11.86)--(-3.26,8.36)--(20.76,8.36)--(20.76,-11.86)--cycle); [/asy] Amir

3 Sea $X \neq \varnothing$ un conjunto finito y sea $f: X \to X$ una función tal que para todo $x \in X$ y un primo fijo $p$ tenemos $f^p(x)=x.$ Sea $Y=\{x \in X | f(x) \neq x\}.$ Demuestre que el número de elementos del conjunto $Y$ es divisible por $p.$ Nota. ${f^p(x)=x = \underbrace{f(f(f(\cdots ((f}_{ p \text{ times}}(x) ) \cdots )))} .$ Amir

2018.1.4 Sea $\mathcal{K}$ un círculo con centro en $A$. Sea $p$ una recta tangente a $\mathcal{K}$ en $B$ y sea una recta paralela a $p$ que corta a $\mathcal{K}$ en $C$ y $D$. Sea la recta $AD$ que corta a $p$ en $E$ y sea $F$ la intersección de las rectas $CE$ y $AB$. Demuestra que la recta que pasa por $D$, paralela a la tangente por $A$ a la circunferencia circunscrita de $AFD$, corta a la recta $CF$ sobre $\mathcal{K}$.

3 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función tal que $f(1)=1$ y \[f(x+y)=f(x)+f(y)\] Y para todo $x \in \mathbb R / \{0\}$ tenemos $f\left( \frac 1x \right) = \frac{1}{f(x)}.$ Halle todas las funciones $f.$ Amir

1 Demuestre que existen al menos seis puntos con coordenadas racionales sobre la curva de ecuación \[y^3=x^3+x+1370^{1370}\] Amir

2 El triángulo $ABC$ está inscrito en la circunferencia $C.$ Las bisectrices de los ángulos $A,B$ y $C$ intersecan nuevamente la circunferencia $C$ en los puntos $A', B', C'$ . Sea $I$ el incentro de $ABC,$ demuestre que \[\frac{IA'}{IA} + \frac{IB'}{IB}+\frac{IC'}{IC} \geq 3\] \[, IA'+IB'+IC' \geq IA+IB+IC\] Amir

3 Tres grupos $A, B$ y $C$ de matemáticos de diferentes países han sido invitados a una ceremonia. Hemos formado reuniones de modo que en cada reunión participan tres matemáticos y en cada reunión hay exactamente un matemático de cada grupo. Además, cada dos matemáticos han participado en exactamente una reunión entre ellos. (a) Demuestre que si esto es posible, entonces el número de matemáticos de los grupos es igual. (b) Demuestre que si hay $3$ matemáticos en cada grupo, entonces ese trabajo es posible. (c) Demuestre que si el número de matemáticos de los grupos es igual, entonces ese trabajo es posible. Amir

1 (a) Considere el conjunto de todos los triángulos $ABC$ inscritos en una circunferencia de radio $R.$ ¿Cuándo es máxima $AB^2+BC^2+CA^2$? Halle este máximo. (b) Considere el conjunto de todos los tetraedros $ABCD$ inscritos en una esfera de radio $R.$ ¿Cuándo es máxima la suma de los cuadrados de las seis aristas de $ABCD$? Halle este máximo y, en este caso, demuestre que todas las aristas son iguales. Amir

1 Demuestre que la ecuación $x+x^2=y+y^2+y^3$ no tiene soluciones en enteros positivos. Amir