2004 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$ , sea $M$ el punto medio de su lado $AC$ , y sea $Z$ la recta que pasa por $C$ perpendicular a $AB$ . El círculo que pasa por los puntos $B$ , $C$ y $M$ interseca a la recta $Z$ en los puntos $C$ y $Q$ . Halle el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en términos de $m = CQ$ .

4 Sean $a, b, c$ números reales no negativos con $a + b + c \le 2$ . Demuestre que $$\sqrt{b^2+ac} + \sqrt{a^2+bc} + \sqrt{c^2+ab} \le 3$$

4 $4.$ Sea un entero positivo variable cuyas dos últimas cifras son $3's$ . Demuestre que este número es divisible por un primo mayor que $7$ .

C1 Fija un entero $n\geq 2$. Considera $2n$ números reales $a_1,\ldots,a_n$ y $b_1,\ldots, b_n$. Sea $S$ el conjunto de todos los pares $(x, y)$ de números reales para los cuales $M_i = a_ix + b_iy$, $i=1,2,\ldots,n$ son distintos dos a dos. Para cada uno de esos pares, ordena los valores correspondientes $M_1, M_2, \ldots, M_n$ de manera creciente y sea $M(i)$ el $i$-ésimo término en la lista así ordenada. Esto define una permutación de los índices $1,2,\ldots,n$. Sea $N$ el número de todas esas permutaciones, cuando los pares recorren todo $S$. En términos de $n$, determina el mayor valor que $N$ puede alcanzar sobre todas las elecciones posibles de $a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n$.

Un barril cilíndrico con radio de $4$ pies y altura de $10$ pies está lleno de agua. Un cubo sólido con lado de $8$ pies se introduce en el barril de modo que la diagonal del cubo quede vertical. El volumen de agua desplazada es $v$ pies cúbicos. Encuentra $v^2$ . [asy] import three; import solids; size(5cm); currentprojection=orthographic(1,-1/6,1/6); draw(surface(revolution((0,0,0),(-2,-2*sqrt(3),0)--(-2,-2*sqrt(3),-10),Z,0,360)),white,nolight); triple A =(8*sqrt(6)/3,0,8*sqrt(3)/3), B = (-4*sqrt(6)/3,4*sqrt(2),8*sqrt(3)/3), C = (-4*sqrt(6)/3,-4*sqrt(2),8*sqrt(3)/3), X = (0,0,-2*sqrt(2)); draw(X--X+A--X+A+B--X+A+B+C); draw(X--X+B--X+A+B); draw(X--X+C--X+A+C--X+A+B+C); draw(X+A--X+A+C); draw(X+C--X+C+B--X+A+B+C,linetype("2 4")); draw(X+B--X+C+B,linetype("2 4")); draw(surface(revolution((0,0,0),(-2,-2*sqrt(3),0)--(-2,-2*sqrt(3),-10),Z,0,240)),white,nolight); draw((-2,-2*sqrt(3),0)..(4,0,0)..(-2,2*sqrt(3),0)); draw((-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),0)--(-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),-10)..(4,0,-10)..(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),-10)--(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),0)); draw((-2,-2*sqrt(3),0)..(-4,0,0)..(-2,2*sqrt(3),0),linetype("2 4")); [/asy]

Llamamos "regular" a un embaldosado de un rectángulo de $m \times n$ con esquinas (ver figura abajo) si no existe un sub-rectángulo que esté embaldosado con esquinas. Demuestra que si para algunos $m$ y $n$ existe un embaldosado "regular" del rectángulo de $m \times n$, entonces también existe un embaldosado "regular" para el rectángulo de $2m \times 2n$.

2002 Dos círculos con centros $O_{1}$ y $O_{2}$ se intersecan en dos puntos $A$ y $B$ tales que los centros de los círculos están en lados opuestos de la recta $AB$ . Las rectas $BO_{1}$ y $BO_{2}$ intersecan de nuevo a sus respectivos círculos en $B_{1}$ y $B_{2}$ . Sea $M$ el punto medio de $B_{1}B_{2}$ . Sean $M_{1}$ , $M_{2}$ puntos en los círculos de centros $O_{1}$ y $O_{2}$ respectivamente, tales que $\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ , y $B_{1}$ está en el arco menor $AM_{1}$ mientras que $B$ está en el arco menor $AM_{2}$ . Demuestre que $\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ . Ciprus Iris

En el diagrama siguiente, $ABCD$ es un cuadrado. El punto $E$ es el punto medio de $\overline{AD}$. Los puntos $F$ y $G$ están sobre $\overline{CE}$, y $H$ y $J$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$, respectivamente, de modo que $FGHJ$ es un cuadrado. Los puntos $K$ y $L$ están sobre $\overline{GH}$, y $M$ y $N$ están sobre $\overline{AD}$ y $\overline{AB}$, respectivamente, de modo que $KLMN$ es un cuadrado. El área de $KLMN$ es 99. Encuentra el área de $FGHJ$. [asy] pair A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,L,M,N; B=(0,0); real m=7*sqrt(55)/5; J=(m,0); C=(7*m/2,0); A=(0,7*m/2); D=(7*m/2,7*m/2); E=(A+D)/2; H=(0,2m); N=(0,2m+3*sqrt(55)/2); G=foot(H,E,C); F=foot(J,E,C); draw(A--B--C--D--cycle); draw(C--E); draw(G--H--J--F); pair X=foot(N,E,C); M=extension(N,X,A,D); K=foot(N,H,G); L=foot(M,H,G); draw(K--N--M--L); label("$A$",A,NW); label("$B$",B,SW); label("$C$",C,SE); label("$D$",D,NE); label("$E$",E,dir(90)); label("$F$",F,NE); label("$G$",G,NE); label("$H$",H,W); label("$J$",J,S); label("$K$",K,SE); label("$L$",L,SE); label("$M$",M,dir(90)); label("$N$",N,dir(180)); [/asy]

1 Determine todos los números de cuatro cifras $\overline{abcd}$ que son cuadrados perfectos y para los cuales se cumple la igualdad: $\overline{ab}=3 \cdot \overline{cd} + 1$ .

8 Desde cada vértice del triángulo $ABC$ trazamos dos rayos, uno rojo y uno azul, simétricos respecto a la bisectriz del ángulo correspondiente. Se consideran las circunferencias circunscritas de los triángulos formados por la intersección de los rayos del mismo color. Demuestre que si la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ es tangente a una de estas circunferencias, entonces también es tangente a la otra.