1 Dado el cuadrilátero convexo $ ABCD$ . Suponga que existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero para el cual los triángulos $ ABP$ y $ CDP$ son ambos triángulos rectángulos isósceles con el ángulo recto en el vértice común $ P$ . Demuestre que existe un punto $ Q$ para el cual los triángulos $ BCQ$ y $ ADQ$ son también triángulos rectángulos isósceles con el ángulo recto en el vértice común $ Q$ .

1 Sea $P_1$ un $n$ - gono regular, donde $n\in\mathbb{N}$ . Construimos $P_2$ como el $n$ - gono regular cuyos vértices son los puntos medios de las aristas de $P_1$ . Continuando de manera análoga, obtenemos $n$ - gonos regulares $P_3,P_4,\ldots ,P_m$ . Para $m\ge n^2-n+1$ , halle el número máximo $k$ tal que para cualquier coloración de los vértices de $P_1,\ldots ,P_m$ con $k$ colores existe un trapecio isósceles $ABCD$ cuyos vértices $A,B,C,D$ tienen el mismo color. Radu Ignat

N2 Demuestra que para cada entero positivo $k$ existe una base $b$ junto con $k$ ternas de números de Fibonacci $(F_u,F_v,F_w)$ tales que al escribirlos en base $b$, su concatenación también es un número de Fibonacci escrito en base $b$. (Los números de Fibonacci se definen por $F_1 = F_2 = 1$ y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para todo entero positivo $n$.) Propuesto por Serbia

Existen $ r$ enteros no negativos únicos $ n_1 > n_2 > \cdots > n_r$ y $ r$ enteros únicos $ a_k$ ( $ 1\le k\le r$ ) con cada $ a_k$ siendo $ 1$ o $ - 1$ tales que \[ a_13^{n_1} + a_23^{n_2} + \cdots + a_r3^{n_r} = 2008. \] Encuentra $ n_1 + n_2 + \cdots + n_r$ .

1 De los estudiantes que asisten a una fiesta escolar, el $60\%$ de los estudiantes son niñas, y el $40\%$ de los estudiantes les gusta bailar. Después de que se unen $20$ estudiantes varones más, a todos los cuales les gusta bailar, la fiesta ahora tiene $58\%$ de niñas. ¿Cuántos estudiantes ahora en la fiesta les gusta bailar? E^(pi*i)=-1

13 Sean \( A \) y \( B \) los extremos de un arco semicircular de radio \( 2 \). El arco se divide en siete arcos congruentes mediante seis puntos igualmente espaciados \( C_1,C_2,\ldots,C_6 \). Se trazan todas las cuerdas de la forma \( \overline{AC_i} \) o \( \overline{BC_i} \). Sea \( n \) el producto de las longitudes de estas doce cuerdas. Encuentra el residuo cuando \( n \) se divide entre \( 1000 \).

En el triángulo rectángulo \( \triangle ABC\) con hipotenusa \( \overline{AB}\), se tiene \( AC = 12\), \( BC = 35\), y \( \overline{CD}\) es la altura trazada hacia \( \overline{AB}\). Sea \( \omega\) el círculo que tiene a \( \overline{CD}\) como diámetro. Sea \( I\) un punto fuera de \( \triangle ABC\) tal que \( \overline{AI}\) y \( \overline{BI}\) son ambas tangentes al círculo \( \omega\). La razón del perímetro de \( \triangle ABI\) a la longitud \( AB\) se puede expresar en la forma \( \displaystyle\frac{m}{n}\), donde \( m\) y \( n\) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \( m+n\).

2 Rudolph va en bicicleta a una velocidad constante y se detiene por un descanso de cinco minutos al final de cada milla. Jennifer va en bicicleta a una velocidad constante que es tres cuartos de la velocidad de Rudolph, pero Jennifer toma un descanso de cinco minutos al final de cada dos millas. Jennifer y Rudolph comienzan a andar en bicicleta al mismo tiempo y llegan a la marca de $ 50$ millas exactamente al mismo tiempo. ¿Cuántos minutos les ha tomado?

14 Para \( t = 1, 2, 3, 4 \), define \( \displaystyle S_t = \sum_{i = 1}^{350}a_i^t \), donde \( a_i \in \{1,2,3,4\} \). Si \( S_1 = 513 \) y \( S_4 = 4745 \), encuentra el valor mínimo posible para \( S_2 \).

3 Sea $A$ un conjunto de enteros positivos que contiene al número $1$ y al menos un elemento más. Dado que para cualesquiera dos elementos distintos $m, n$ de $A$ el número $\frac{m+1}{(m+1,n+1)}$ también es un elemento de $A$, demuestra que $A$ coincide con el conjunto de los enteros positivos.