1 Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Halle todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que, para enteros positivos $a$ y $b,$ \[f(a^2 + b^2) = f(a)f(b) \text{ and } f(a^2) = f(a)^2.\]

2 Resuelva $(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)=1680$

5 Halle todos los pares de primos $(p, q)$ para los cuales $p-q$ y $pq-q$ son ambos cuadrados perfectos.

2 Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Las celdas de una cuadrícula $(a+b+1)\times (a+b+1)$ están coloreadas de ámbar y bronce de modo que hay al menos $a^2+ab-b$ celdas ámbar y al menos $b^2+ab-a$ celdas bronce. Demuestre que es posible elegir $a$ celdas ámbar y $b$ celdas bronce tales que no haya dos de las $a+b$ celdas elegidas en la misma fila o columna.

4 Sea $ABCD$ un rombo, y sean $K$ y $L$ puntos tales que $K$ está dentro del rombo, $L$ está fuera del rombo, y $KA = KB = LC = LD$ . Demuestre que existen puntos $X$ y $Y$ sobre las rectas $AC$ y $BD$ tales que $KXLY$ es también un rombo. Propuesto por Ankan Bhattacharya

6 Sea $n \geq 4$ un entero. Halle todas las soluciones reales positivas del siguiente sistema de $2n$ ecuaciones: \begin{align*} a_{1} &=\frac{1}{a_{2 n}}+\frac{1}{a_{2}}, & a_{2}&=a_{1}+a_{3}, \\ a_{3}&=\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{4}}, & a_{4}&=a_{3}+a_{5}, \\ a_{5}&=\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{6}}, & a_{6}&=a_{5}+a_{7} \\ &\vdots & &\vdots \\ a_{2 n-1}&=\frac{1}{a_{2 n-2}}+\frac{1}{a_{2 n}}, & a_{2 n}&=a_{2 n-1}+a_{1} \end{align*}

1 Hay $a+b$ tazones dispuestos en una fila, numerados del $1$ al $a+b$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos dados. Inicialmente, cada uno de los primeros $a$ tazones contiene una manzana, y cada uno de los últimos $b$ tazones contiene una pera. Un movimiento legal consiste en mover una manzana del tazón $i$ al tazón $i+1$ y una pera del tazón $j$ al tazón $j-1$ , siempre que la diferencia $i-j$ sea par. Permitimos múltiples frutas en el mismo tazón al mismo tiempo. El objetivo es terminar con los primeros $b$ tazones conteniendo cada uno una pera y los últimos $a$ tazones conteniendo cada uno una manzana. Muestre que esto es posible si y solo si el producto $ab$ es par.

2 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de todos los enteros. Halle todos los pares de enteros $(a,b)$ para los cuales existen funciones $f \colon \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ y $g \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ que satisfacen \[ f(g(x))=x+a \quad\text{and}\quad g(f(x))=x+b \] para todo entero $x$ . Propuesto por Ankan Bhattacharya

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico que satisface $AD^2 + BC^2 = AB^2$ . Las diagonales de $ABCD$ se intersecan en $E$ . Sea $P$ un punto del lado $\overline{AB}$ que satisface $\angle APD = \angle BPC$ . Demuestre que la recta $PE$ biseca a $\overline{CD}$ . Propuesto por Ankan Bhattacharya

4 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle ABC$ obtuso. La excircunferencia $A$ - es una circunferencia en el exterior de $\triangle ABC$ que es tangente al lado $BC$ del triángulo y tangente a las prolongaciones de los otros dos lados. Sean $E$ , $F$ los pies de las alturas trazadas desde $B$ y $C$ hacia las rectas $AC$ y $AB$ , respectivamente. ¿Puede la recta $EF$ ser tangente a la excircunferencia $A$ -? Propuesto por Ankan Bhattacharya, Zack Chroman y Anant Mudgal