1 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales mayores que $1$ . Demuestre la desigualdad $$\frac{ab}{c-1}+\frac{bc}{a - 1}+\frac{ca}{b -1} \ge 12.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? (Karl Czakler)

3 En el conjunto $S$ hay una operación $'' \circ ''$ tal que $\forall a,b \in S$ , existe un único $a \circ b \in S$ . Y (i) $\forall a,b,c \in S$ , $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ . (ii) $a \circ b \neq b \circ a$ cuando $a \neq b$ . Demuestre que: a.) $\forall a,b,c \in S$ , $(a \circ b) \circ c = a \circ c$ . b.) Si $S = \{1,2, \ldots, 1990\}$ , intente definir una operación $'' \circ ''$ en $S$ con las propiedades anteriores.

4 Jon y Steve montan sus bicicletas por un sendero que corre paralelo a dos vías de tren lado a lado, en dirección este/oeste. Jon va hacia el este a 20 millas por hora, y Steve va hacia el oeste a 20 millas por hora. Dos trenes de igual longitud viajan en direcciones opuestas a velocidades constantes pero diferentes, y cada uno pasa a los dos ciclistas. Cada tren tarda exactamente 1 minuto en pasar a Jon. El tren que va hacia el oeste tarda 10 veces más que el tren que va hacia el este en pasar a Steve. La longitud de cada tren es $\tfrac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

1 Halle todos los polinomios $P$ con coeficientes reales tales que $\forall{x\in\mathbb{R}}$ se cumple: \[ P(2P(x))=2P(P(x))+2(P(x))^2. \]

3 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función de valores reales definida sobre el conjunto de los números reales que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todos los números reales $x$ y $y$ . Demuestre que $f(x) = 0$ para todo $x \leq 0$ . Propuesto por Igor Voronovich, Bielorrusia Amir

A1 Sean $A$ y $B$ puntos en la misma rama de la hipérbola $xy=1.$ Supón que $P$ es un punto entre $A$ y $B$ en esta hipérbola, tal que el área del triángulo $APB$ es lo más grande posible. Demuestra que la región acotada por la hipérbola y la cuerda $AP$ tiene la misma área que la región acotada por la hipérbola y la cuerda $PB.$ Kent

7 Demuestre que para cualesquiera cuatro números reales positivos $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ se cumple la desigualdad \[ \frac {(a - b)(a - c)}{a + b + c} + \frac {(b - c)(b - d)}{b + c + d} + \frac {(c - d)(c - a)}{c + d + a} + \frac {(d - a)(d - b)}{d + a + b}\ge 0\] . Determine todos los casos de igualdad. Autor: Darij Grinberg (Propuesta del problema), Christian Reiher (Solución), Alemania

A3 Sea $p(z)$ un polinomio de grado $n,$ cuyas raíces tienen todas valor absoluto $1$ en el plano complejo. Pon $g(z)=\frac{p(z)}{z^{n/2}}.$ Demuestra que todas las raíces de $g'(z)=0$ tienen valor absoluto $1.$

2 Un grupo de $n > 1$ piratas de diferentes edades poseía un total de $2009$ monedas. Inicialmente cada pirata (excepto el más joven) tenía una moneda más que el siguiente más joven. a) Encuentre todos los valores posibles de $n$ . b) Cada día se elegía a un pirata. El pirata elegido daba una moneda a cada uno de los otros piratas. Si $n = 7$ , encuentre el mayor número posible de monedas que un pirata puede tener después de varios días.

Un círculo grande está inscrito en un rombo, y cada uno de dos círculos más pequeños toca dos lados del rombo y al círculo grande como se muestra en la figura de la derecha. Demuestre que las cuatro líneas discontinuas que unen los puntos donde los círculos tocan al rombo, como se muestra en la figura, forman un cuadrado.