4 Halle todos los polinomios con coeficientes reales $P(x)$ tales que $P(x^2+x+1)$ divide a $P(x^3-1)$ .

Sea $p \geq 5$ un primo y sea \begin{align*} (p-1)^p +1 = \prod _{i=1}^n q_i^{\beta_i} \end{align*} donde $q_i$ son primos. Demuestra que \begin{align*} \sum_{i=1}^n q_i \beta_i >p^2 \end{align*}

1 En un torneo de fútbol entre cuatro equipos, \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), cada equipo juega contra cada uno de los demás exactamente una vez. a) Decide si, al final del torneo, es posible que las cantidades de goles marcados y goles recibidos para cada equipo sean las siguientes: $\begin{tabular}{ c|c|c|c|c } {} & A & B & C & D \\ \hline Goles marcados & 1 & 3 & 6 & 7 \\ \hline Goles recibidos & 4 & 4 & 4 & 5 \\ \end{tabular}$ Si la respuesta es sí, da un ejemplo para los resultados de los seis partidos; en caso contrario, justifica tu respuesta. b) Decide si, al final del torneo, es posible que las cantidades de goles marcados y goles recibidos para cada equipo sean las siguientes: $\begin{tabular}{ c|c|c|c|c } {} & A & B & C & D \\ \hline Goles marcados & 1 & 3 & 6 & 13 \\ \hline Goles recibidos & 4 & 4 & 4 & 11 \\ \end{tabular}$ Si la respuesta es sí, da un ejemplo para los resultados de los seis partidos; en caso contrario, justifica tu respuesta.

N3 pensé que este problema estaba en mathlinks pero cuando lo busqué no lo encontré. Así que aquí está: Encuentra todos los enteros positivos $m$ para los cuales para todo $\alpha,\beta \in \mathbb{Z}-\{0\}$ \[ \frac{2^m \alpha^m-(\alpha+\beta)^m-(\alpha-\beta)^m}{3 \alpha^2+\beta^2} \in \mathbb{Z} \]

N2 Demuestra que no existen enteros positivos distintos $x$ y $y$ tales que $x^{2007} + y! = y^{2007} + x! $

2 Halle todos los $m,n\in\mathbb N$ y primos $p\geq 5$ que satisfacen \[m(4m^2+m+12)=3(p^n-1).\]

N1 Resuelve el siguiente sistema en números primos \begin{align*} x^2+yu = (x+u)^v \end{align*} \begin{align*} x^2+yz=u^4 \end{align*}

G4 Sean $M,N$ y $P$ puntos sobre los lados $BC$, $CA$ y $AB$ del triángulo $ABC$ tales que el triángulo $MNP$ es agudo. Denota por $h$ y $H$ las longitudes de la altura más corta de $\vartriangle ABC$ y la altura más larga de $\vartriangle MNP$. Demuestra que $h \le 2H$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB=BC=CD$, con $AC \neq BD$, y sea $E$ el punto de intersección de sus diagonales. Demuestra que $AE=DE$ si y solo si $\angle BAD+\angle ADC = 120^\circ$.

G3 Sea $ A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ un pentágono convexo, tal que \[ [A_{1}A_{2}A_{3}] = [A_{2}A_{3}A_{4}] = [A_{3}A_{4}A_{5}] = [A_{4}A_{5}A_{1}] = [A_{5}A_{1}A_{2}].\] Demuestra que existe un punto $ M$ en el plano del pentágono tal que \[ [A_{1}MA_{2}] = [A_{2}MA_{3}] = [A_{3}MA_{4}] = [A_{4}MA_{5}] = [A_{5}MA_{1}].\] Aquí $ [XYZ]$ denota el área del triángulo $ \Delta XYZ$ . Valentin