2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ los puntos de tangencia de los excírculos con los segmentos $BC, CA, AB$ respectivamente. Sean $O_{A}, O_{B}, O_{C}$ los circuncentros de $\triangle AB_{1}C_{1}, \triangle BC_{1}A_{1}, \triangle CA_{1}B_{1}$ respectivamente. Demuestre que las rectas que pasan por $O_{A}, O_{B}, O_{C}$ paralelas respectivamente a las bisectrices interiores de $\angle A,\angle B, \angle C$ son concurrentes.

3 Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes enteros positivos. Para cada $n\in\mathbb{N}$ , sean $a_{1}^{(n)}, a_{2}^{(n)}, \dots , a_{n}^{(n)}$ enteros positivos fijos que dan residuos diferentes por pares módulo $n$ y sea \[g(n) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(a_{i}^{(n)}) = f(a_{1}^{(n)}) + f(a_{2}^{(n)}) + \dots + f(a_{n}^{(n)})\] Demuestre que existe una constante $M$ tal que para todos los enteros $m>M$ se tiene $\gcd(m, g(m))>2023^{2023}$ .

4 Demuestre que existe un único punto $M$ sobre el lado $AD$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ tal que \[\sqrt{S_{ABM}}+\sqrt{S_{CDM}} = \sqrt{S_{ABCD}}\] si y solo si $AB\parallel CD$ .

5 Para todo entero positivo $n$ determine el menor valor posible de la expresión \[|x_{1}|+|x_{1}-x_{2}|+|x_{1}+x_{2}-x_{3}|+\dots +|x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}-x_{n}|\] sabiendo que $x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}$ son números reales que satisfacen $|x_{1}|+|x_{2}|+\dots+|x_{n}| = 1$ .

6 En una clase de $26$ estudiantes, cada uno es calificado en cinco asignaturas con una de tres notas posibles. Demuestre que si $25$ de estos estudiantes ya han recibido sus notas, entonces podemos calificar al último de manera que sus notas difieran de las de cualquier otro estudiante en al menos dos asignaturas.

2 Si $a+b=1$, con $ \in \mathbb{R}$, y $ab \ne 0$, demuestre que $$\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2(ab-2)}{a^2b^2+3}$$

2 Determina todos los enteros positivos \(n>1\) tales que para cualquier divisor \(d\) de \(n,\) los números \(d^2-d+1\) y \(d^2+d+1\) son primos. Lucian Petrescu

6 Demuestra que existe una sucesión de enteros positivos $x_1, x_2,…x_n,…$ que satisface las siguientes dos condiciones: (i) Cada entero positivo aparece exactamente una vez, (ii) Para cada $n=1,2,…$ la suma parcial $x_1+x_2+…+x_n$ es divisible por $n^n$.

2 Se dan $50$ puntos en el plano, sin que tres de ellos pertenezcan a una misma recta. Cada uno de estos puntos se colorea usando uno de cuatro colores dados. Demuestra que hay un color y al menos $130$ triángulos escalenos con vértices de ese color.

1 Determine todas las sucesiones infinitas $a_1, a_2, \ldots$ de números reales tales que \[ a_{m^2 + m + n} = a_{m}^2 + a_m + a_n\] para todos los enteros positivos $m$ y $n$ .