1 El líder de un equipo de la IMO elige enteros positivos $n$ y $k$ con $n > k$ , y los anuncia al líder adjunto y a un concursante. Luego, el líder dice en secreto al líder adjunto una cadena binaria de $n$ dígitos, y el líder adjunto escribe todas las cadenas binarias de $n$ dígitos que difieren de la del líder en exactamente $k$ posiciones. (Por ejemplo, si $n = 3$ y $k = 1$ , y si el líder elige $101$ , el líder adjunto escribiría $001, 111$ y $100$ . ) El concursante puede mirar las cadenas escritas por el líder adjunto y adivinar la cadena del líder. ¿Cuál es el número mínimo de intentos (en términos de $n$ y $k$ ) necesarios para garantizar la respuesta correcta?

Para cualquier conjunto finito no vacío $B$ y cualquier real $x$ , defina $$d_B(x) = \min_{b\in B} |x-b|$$ (1) Dado un entero positivo $m$ . Halle el menor número real $\lambda$ (que posiblemente dependa de $m$ ) tal que para cualquier entero positivo $n$ y cualesquiera reales $x_1,\cdots,x_n \in [0,1]$ , exista un conjunto $B$ de $m$ elementos de números reales que satisfaga $$d_B(x_1)+\cdots+d_B(x_n) \le \lambda n$$ (2) Dados un entero positivo $m$ y un real positivo $\epsilon$ . Demuestre que existen un entero positivo $n$ y reales no negativos $x_1,\cdots,x_n$ que satisfacen que para cualquier conjunto $B$ de $m$ elementos de números reales, se tiene $$d_B(x_1)+\cdots+d_B(x_n) > (1-\epsilon)(x_1+\cdots+x_n)$$

Halle todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(x+f(y^2)) + f(xy) = f(x) + yf(x+y)$$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$ . Propuesto por Md. Fuad Al Alam

2 Halle todas las ternas $(p,a,b)$ de enteros positivos tales que $$p=b\sqrt{\frac{a-8b}{a+8b}}$$ es primo

3 Un número consta de 3 cifras diferentes. La suma de los otros 5 números formados con esas cifras es 2003. Halle el número.

Hay 8 cartas con los números \(1\), \(2\), \(\dots\), \(8\) escritos respectivamente. Alice y Bob juegan el siguiente juego: en cada turno, Alice le da dos cartas a Bob, quien debe quedarse con una carta y descartar la otra. El juego continúa durante cuatro turnos en total; en los primeros dos turnos, Bob no puede quedarse con ambas cartas de los números más grandes, y en los últimos dos turnos, Bob tampoco puede quedarse con ambas cartas de los números más grandes. Sea \(S\) la suma de los números escritos en las cartas que Bob conserva. Encuentra el mayor entero positivo \(N\) para el cual Bob puede garantizar que \(S\) sea al menos \(N\).

Igual que Secundaria

2 Sea $n$ un entero positivo. Los números $1, 2, \dots, 2n+1$ están dispuestos en un círculo en ese orden, y algunos de ellos están marcados. Definimos, para cada $k$ tal que $1\leq k \leq 2n+1$, el intervalo $I_k$ como el intervalo circular cerrado que comienza en $k$ y termina en $k+n$ (tomando residuos mód(2n+1)). Llamamos a un intervalo mágico si contiene estrictamente más de la mitad de todos los elementos marcados. Demuestra que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes: 1. Al menos $n+1$ de los intervalos $I_1, I_2, \dots, I_{2n+1}$ son mágicos 2. El número de números marcados es impar

Igual que Secundaria

4 Resuelva para $x \in [0,2\pi[$ : \[\sin x < \cos x < \tan x < \cot x\]