C2 Alicia y Bob juegan al siguiente juego: Comienzan con montones de monedas no vacíos. Turnándose, con Alicia jugando primero, cada jugador elige un montón con un número par de monedas y mueve la mitad de las monedas de ese montón al otro montón. El juego termina si un jugador no puede moverse, en cuyo caso el otro jugador gana. Determina todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que si inicialmente los dos montones tienen $a$ y $b$ monedas respectivamente, entonces Bob tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Dimitris Christophides, Chipre

G6 En un triángulo $ABC$ con $AB=AC$, $\omega$ es la circunferencia circunscrita y $O$ su centro. Sea $D$ un punto en la extensión de $BA$ más allá de $A$. La circunferencia $\omega_{1}$ del triángulo $OAD$ interseca a la recta $AC$ y a la circunferencia $\omega$ nuevamente en los puntos $E$ y $G$, respectivamente. El punto $H$ es tal que $DAEH$ es un paralelogramo. La recta $EH$ corta a la circunferencia $\omega_{1}$ nuevamente en el punto $J$. La recta que pasa por $G$ perpendicular a $GB$ corta a $\omega_{1}$ nuevamente en el punto $N$, y la recta que pasa por $G$ perpendicular a $GJ$ corta a $\omega$ nuevamente en el punto $L$. Demuestra que los puntos $L, N, H, G$ están en una circunferencia.

Se da un triángulo acutángulo $ABC$ y la mediana $AM.$ Trace $BH\perp AC.$ La recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $AM$ interseca a $BH$ en $E.$ Sobre el rayo opuesto al rayo $AE$ elija $F$ tal que $AE=AF.$ Demuestre que $CF\perp AB.$

. Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ y $\angle B=36^\circ$ . La longitud de la bisectriz trazada desde el vértice $B$ es igual a $10$ . Halle la longitud de la altura trazada desde el vértice $A$ . P2. Halle todos los números naturales $n$ tales que el número $n^{4}-2n^{3}+23n^{2}-22n+16$ es un cuadrado perfecto. P3. En la olimpiada «Ruta de la Seda», en la que participaron $100$ estudiantes, se propusieron cuatro problemas. El primer problema fue resuelto por $90$ estudiantes, el segundo por $80$ , el tercero por $70$ y el cuarto por $60$ . Ningún estudiante resolvió los cuatro problemas. ¿Cuántos estudiantes resolvieron exactamente tres problemas? Justifique su respuesta. P4. Un número de $2019$ cifras se escribe usando solamente las cifras $1$ , $3$ y $5$ . Un divisor de este número se llama alegre si su última cifra es $7$ . Demuestre que menos de la mitad de todos los divisores del número son alegres. P5. Se elige un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$ . Demuestre que si los circunradios de los triángulos $PAB$ , $PBC$ y $PCA$ son iguales, entonces el punto $P$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ . P6. Para números reales positivos $a, b, c$ que satisfacen $abc=2$ , demuestre la desigualdad $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqslant a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$ .

Sea \( ABC \) un triángulo, y sea \( AD \) la bisectriz interna del ángulo \( \angle BAC \) , que corta al lado \( BC \) en el punto \( D \) . Se traza un círculo tangente tanto a la circunferencia circunscrita \( (ABC) \) como al lado \( BC \) , con puntos de tangencia \( K \) y \( L \) , respectivamente. La recta \( KL \) corta a la circunferencia circunscrita \( (ABC) \) nuevamente en el punto \( X \) . Considere un círculo arbitrario que pasa por los puntos \( A \) y \( X \) . Este círculo corta a las rectas \( BX \) y \( CX \) en los puntos \( S \) y \( T \) , respectivamente. Demuestre que: \[ \angle DSX = \angle DTX. \]

4 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c+3abc\geq (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+3$ . Demuestre que se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq\frac{abc+2021}{2022}.$$

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia. Sean $\omega_A$ , $\omega_B$ , $\omega_C$ , $\omega_D$ las circunferencias inscritas de los triángulos $DAB$ , $ABC$ , $BCD$ , $CDA$ respectivamente. La tangente externa común de $\omega_A$ , $\omega_B$ , distinta de la recta $AB$ , se encuentra con la tangente externa común de $\omega_A$ , $\omega_D$ , distinta de $AD$ , en el punto $A'$ . De manera similar, la tangente externa común de $\omega_B$ , $\omega_C$ distinta de $BC$ se encuentra con la tangente externa común de $\omega_C$ , $\omega_D$ distinta de $CD$ en $C'$ . Demuestre que $AA'\parallel CC'$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$ , sea $M$ el punto medio de $BC$ y sea $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$ . La circunferencia circunscrita de $B$ , $H$ y $C$ interseca a la mediana $AM$ en $N$ . Demuestre que $\angle ANH=90^\circ$ .

6 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $\overline{AB}=\overline{AC}$ . Sea $D(\neq A, C)$ un punto del lado $AC$ , y la circunferencia $\Omega$ es tangente a $BD$ en el punto $E$ , y a $AC$ en el punto $C$ . Denote por $F(\neq E)$ la intersección de la recta $AE$ con la circunferencia $\Omega$ , y por $G(\neq a)$ la intersección de la recta $AC$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABF$ . Demuestre que los puntos $D, E, F,$ y $G$ son concíclicos.

Oleksii escribió \( 2n \) ( \( n > 1 \) ) enteros positivos consecutivos en el pizarrón. Después, agrupó estos números en pares de alguna manera, y dentro de cada par multiplicó los dos números. Luego escribió los \( n \) productos resultantes en el pizarrón en lugar de los números originales. Después, Anton escribió la diferencia entre el mayor y el menor de los números que escribió Oleksii. Oleksii quiere que Anton escriba el número más pequeño posible. ¿Cuál es el número más pequeño que se puede escribir? Propuesto por Oleksii Masalitin, Anton Trygub