4 Todos los ángulos de un nonadecágono dado (polígono de 19 lados) son múltiplos de $10^o$ . Demuestre que el nonadecágono tiene al menos un par de lados paralelos.

4 ¿Toda bola hiperbólica tiene necesariamente un tetraedro hiperbólico circunscrito?

1 Un número natural es tal que los números $2n+1$ y $3n+1$ son cuadrados de enteros. a) Demuestre que es divisible por $8$ . b) ¿Es necesariamente divisible por $16$ ?

4 La sucesión de números $a_0, a_1, a_2, ...$ está definida por las condiciones $a_0 = 1$ y $$a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_{n+1}+a_n}, \,\,\, for \,\,\,n \ge0$$ . Demuestre que tal sucesión es única y halle la dependencia de $a_n$ respecto de $n$ .

2 Se tiene un sistema de ecuaciones: $$\begin{cases}x_1^2+\dfrac{1}{x_2^2}=4, \\ x_2^2+\dfrac{1}{x_3^2}=1\\ ............ \\ x_{2n-1}^2+\dfrac{1}{x_{2n}^2}=4,\\ x_{2n}^2+\dfrac{1}{x_1^2}=1\end{cases} $$ a) Sea $n = 2$ . Halle al menos 3 soluciones del sistema. b) Sea $n = 2$ . Halle todas las soluciones. c) Resuelva el sistema para cada número natural $n$ .

3 Una sucesión infinita de números reales $a_n$ ( $n\in N$ ) satisface la condición $$a_{k^2+m^2} = a^2_k + a^2_m \,\,\, (k\in N, m \in N)$$ (así, por ejemplo, $a_{10} = a_{1^2+3^2} = a^2_1 + a^2 _3$ ) . ¿Puede o no el primer término $a_1$ de tal sucesión ser igual al número: a) $0$ ? b) $1$ ? c ) $ -1$ ? d) $1/3$ ? e) $-1/3$ ?

1 En cada casilla de una tabla cuadrada $n\times n$ se escribe $1$ o $-1$ . Sea $a_i$ el producto de los números de la $i$ -ésima fila, y $b_j$ el producto de los números de la $j$ -ésima columna. ¿Es posible llenar la tabla de tal manera que la suma $$a_1 +a_2 +...+a_i+ ...+a_n+b_1+b_2+...+b_j+...+b_n$$ sea igual a cero cuando a) $n =10$ ? b) $n =9$ ?

4 Un tablero rectangular $6\times 9$ está formado por $54$ casillas iguales, en cada una de las cuales se puede colocar una ficha. a) ¿Es posible colocar las fichas de tal manera que el número de fichas en cualesquiera dos cuadrados $4\times 4$ sea diferente? b) ¿Es posible colocar las fichas de tal manera que el número de fichas en cualesquiera dos cuadrados $5\times 5$ sea diferente?

3 Tres de los ángulos de un heptágono convexo inscrito en una circunferencia son iguales a $120^o$ . Demuestre que al menos dos de sus lados tienen longitudes iguales.

2 Las longitudes de las dos bisectrices de un triángulo isósceles son $\sqrt{1-2^{-2004}}$ y $2-2^{-2004}$ . Halle la longitud de la tercera bisectriz.