En el triángulo \(ABC\), \(AB=\sqrt{30}\), \(AC=\sqrt{6}\) y \(BC=\sqrt{15}\). Existe un punto \(D\) tal que \(\overline{AD}\) biseca a \(\overline{BC}\) y \(\angle ADB\) es un ángulo recto. La razón \[ \frac{\text{Área}(\triangle ADB)}{\text{Área}(\triangle ABC)} \] se puede escribir en la forma \(m/n\), donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \(m+n.\)

14 Un sólido rectangular de $150\times 324\times 375$ se forma pegando cubos de $1\times 1\times 1$. Una diagonal interna de este sólido pasa por el interior de ¿cuántos de los cubos de $1\times 1\times 1$?

15 En el paralelogramo $ABCD,$ sea $O$ la intersección de las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}.$ Los ángulos $CAB$ y $DBC$ son cada uno el doble del ángulo $DBA,$ y el ángulo $ACB$ es $r$ veces el ángulo $AOB.$ Encuentra el mayor entero que no excede a $1000r.$

1 El cuadrado $S_{1}$ es de $1\times 1.$ Para $i\ge 1,$ las longitudes de los lados del cuadrado $S_{i+1}$ son la mitad de las longitudes de los lados del cuadrado $S_{i},$ dos lados adyacentes del cuadrado $S_{i}$ son mediatrices perpendiculares de dos lados adyacentes del cuadrado $S_{i+1},$ y los otros dos lados del cuadrado $S_{i+1}$ son las mediatrices perpendiculares de dos lados adyacentes del cuadrado $S_{i+2}.$ El área total encerrada por al menos uno de $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}, S_{5}$ se puede escribir en la forma $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m-n.$ [asy] size(250); path p=rotate(45)*polygon(4); int i; for(i=0; i<5; i=i+1) { draw(shift(2-(1/2)^(i-1),0)*scale((1/2)^i)*p); } label("$S_1$", (0,-0.75)); label("$S_2$", (1,-0.75)); label("$S_3$", (3/2,-0.75)); label("$\cdots$", (7/4, -3/4)); label("$\cdots$", (2.25, 0));[/asy]

2 Encuentra los últimos tres dígitos del producto de las raíces positivas de \[ \sqrt{1995}x^{\log_{1995}x}=x^2. \]

Comenzando en $(0,0),$ un objeto se mueve en el plano coordenado mediante una secuencia de pasos, cada uno de longitud uno. Cada paso es hacia la izquierda, derecha, arriba o abajo, todos igualmente probables. Sea $p$ la probabilidad de que el objeto llegue a $(2,2)$ en seis o menos pasos. Dado que $p$ se puede escribir en la forma $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n.$

4 circunferencias de radio 3 y 6 son tangentes externamente entre sí y son tangentes internamente a una circunferencia de radio 9. La circunferencia de radio 9 tiene una cuerda que es una tangente externa común de las otras dos circunferencias. Encuentra el cuadrado de la longitud de esta cuerda.

5 Para ciertos valores reales de $a, b, c$ y $d$, la ecuación $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ tiene cuatro raíces no reales. El producto de dos de estas raíces es $13+i$ y la suma de las otras dos raíces es $3+4i$, donde $i=\sqrt{-1}$. Encuentra $b$.

6 Sea $n=2^{31}3^{19}$. ¿Cuántos divisores enteros positivos de $n^2$ son menores que $n$ pero no dividen a $n$?

Un círculo con diámetro \(\overline{PQ}\) de longitud 10 es internamente tangente en \(P\) a un círculo de radio 20. Se construye el cuadrado \(ABCD\) con \(A\) y \(B\) sobre el círculo mayor, \(\overline{CD}\) tangente en \(Q\) al círculo menor, y el círculo menor fuera de \(ABCD\). La longitud de \(\overline{AB}\) se puede escribir en la forma \(m + \sqrt{n}\), donde \(m\) y \(n\) son enteros. Encuentra \(m + n\).