Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $\angle BAC=120^\circ$ y longitudes $AB=1$ , $AC=2$ . Sea $D$ un punto del lado $BC$ tal que la recta $AD$ biseca el ángulo $\angle BAC$ . Encuentre la longitud del segmento $AD$ .

6 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo con $ BA\neq BC$ . Denote los incírculos de los triángulos $ ABC$ y $ ADC$ por $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ respectivamente. Suponga que existe un círculo $ \omega$ tangente al rayo $ BA$ más allá de $ A$ y al rayo $ BC$ más allá de $ C$ , que también es tangente a las rectas $ AD$ y $ CD$ . Demuestre que las tangentes externas comunes a $ \omega_{1}$ y $\omega_{2}$ se intersecan sobre $ \omega$ . Autor: Vladimir Shmarov, Rusia

3 Un triángulo anti-Pascal es un arreglo triangular equilátero de números tal que, excepto por los números en la fila inferior, cada número es el valor absoluto de la diferencia de los dos números inmediatamente debajo de él. Por ejemplo, el siguiente es un triángulo anti-Pascal con cuatro filas que contiene cada entero del $1$ al $10$ . \[\begin{array}{ c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}} c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{4pt}}c } \vspace{4pt} & & & 4 & & & \\\vspace{4pt} & & 2 & & 6 & & \\\vspace{4pt} & 5 & & 7 & & 1 & \\\vspace{4pt} 8 & & 3 & & 10 & & 9 \\\vspace{4pt} \end{array}\] ¿Existe un triángulo anti-Pascal con $2018$ filas que contenga cada entero del $1$ a $1 + 2 + 3 + \dots + 2018$ ? Propuesto por Morteza Saghafian, Irán

17 Sean $O$, $I$ el circuncentro y el incentro de un triángulo acutángulo escaleno $ABC$; sean $D$, $E$, $F$ los puntos de tangencia de su excírculo con el lado $BC$ y con las prolongaciones de $AC$, $AB$ respectivamente. Demuestra que si el ortocentro del triángulo $DEF$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$, entonces es simétrico al punto medio del arco $BC$ con respecto a $OI$. Propuesto por: P. Puchkov, E. Utkin

1 Sea $p > 7$ un número primo que deja residuo 1 al ser dividido por 6. Sea $m=2^p-1,$ entonces demuestre que $2^{m-1}-1$ es divisible por $127m$ sin residuo.

3 Demuestre que existe un entero $ k$ para el cual $ k^3 - 36 k^2 + 51 k - 97$ es un múltiplo de $ 3^{2008.}$

1 Sea $A = (a_1, a_2, \ldots, a_{2001})$ una sucesión de enteros positivos. Sea $m$ el número de subsucesiones de 3 elementos $(a_i,a_j,a_k)$ con $1 \leq i < j < k \leq 2001$, tales que $a_j = a_i + 1$ y $a_k = a_j + 1$. Considerando todas las sucesiones $A$ de este tipo, encuentra el mayor valor de $m$.

2 Se nos da un polígono, una recta $l$ y un punto $P$ sobre $l$ en posición general: todas las rectas que contienen un lado del polígono cortan a $l$ en puntos distintos y diferentes de $P$ . Marcamos cada vértice del polígono tal que los lados que concurren en él, prolongados alejándose del vértice, cortan a la recta $l$ en lados opuestos de $P$ . Demuestre que $P$ está dentro del polígono si y solo si a cada lado de $l$ hay un número impar de vértices marcados. O. Musin

3 Sean $x, y, p, n$ y $k$ enteros positivos tales que $x^n + y^n = p^k$ . Demuestre que si $n > 1$ es impar y $p$ es un primo impar, entonces $n$ es una potencia de $p$ . A. Kovaldji, V. Senderov

2 Los centros $O_1$ ; $O_2$ ; $O_3$ de tres circunferencias no intersecantes de igual radio están situados en los vértices de un triángulo. Desde cada uno de los puntos $O_1$ ; $O_2$ ; $O_3$ se trazan tangentes a las otras dos circunferencias dadas. Se sabe que las intersecciones de estas tangentes forman un hexágono convexo. Los lados del hexágono están coloreados alternadamente de rojo y azul. Demuestre que la suma de las longitudes de los lados rojos es igual a la suma de las longitudes de los lados azules. D. Tereshin