Sean $A,B,C,D$ los 4 cuadrados del centro de una cuadrícula de $4\times 4$ cuadrados. Estos 4 cuadrados forman el centro de la cuadrícula. Una rana puede saltar desde uno de los 4 cuadrados del centro a cualquier cuadrado de la cuadrícula que comparta un lado. Si la rana sale del centro desde un cuadrado determinado por primera vez, ese cuadrado se denomina cuadrado de salida. Halle el número de formas en que la rana puede partir de $A$ siendo $A$ el cuadrado de salida en $n$ saltos. Dé su respuesta en términos de $n$ .

1 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales se intersecan en $O$ , y $M$ y $N$ son puntos de los segmentos $OA$ y $OD$ respectivamente. Suponga que $MN$ es paralelo a $AD$ y que $NC$ es paralelo a $AB$ . Demuestre que $\angle ABM=\angle NCD$ .

2 ¿Cuál es el número máximo de enteros que pueden elegirse de $1,2,\dots,99$ de modo que los enteros elegidos puedan disponerse en una circunferencia con la propiedad de que el producto de cada par de enteros vecinos sea un número de 3 cifras?

3 Definimos un dominó como un bloque rectangular de $1\times 2$ . Una cuadrícula cuadrada de $2023\times 2023$ se rellena con dominós no superpuestos, dejando un único hueco de $1\times 1$ . John desliza repetidamente dominós hacia el hueco; cada dominó se mueve a lo sumo una vez. ¿Cuál es el número máximo de veces que John podría haber movido un dominó? (Ejemplo: en la cuadrícula de $3\times 3$ que se muestra abajo, John podría mover 2 dominós: $D$ , seguido de $A$ . ) [asy] unitsize(18); draw((0,0)--(3,0)--(3,3)--(0,3)--(0,0)--cycle); draw((0,1)--(3,1)); draw((2,0)--(2,3)); draw((1,1)--(1,3)); label("A",(0.5,2)); label("B",(1.5,2)); label("C",(2.5,2)); label("D",(1,0.5)); [/asy]

4 Dos números primos distintos de 2 cifras $p,q$ pueden escribirse uno después del otro de 2 maneras diferentes para formar dos números de 4 cifras. Por ejemplo, 11 y 13 producen 1113 y 1311. Si los dos números de 4 cifras formados son ambos divisibles por el valor promedio de $p$ y $q$ , halle todos los pares posibles $\{p,q\}$ .

2 Hay $315$ canicas divididas en tres montones de $81, 115$ y $119$ . En cada movimiento, Ah Meng puede fusionar varios montones en un solo montón o dividir un montón con un número par de canicas en $2$ montones iguales. ¿Puede Ah Meng dividir las canicas en $315$ montones, cada uno con una sola canica?

3 Halle todos los enteros positivos $m, n$ tales que $\frac{2m-1}{n}$ y $\frac{2n-1}{m}$ son ambos enteros.

4 Sean $a>b>0$ . Demuestre que $\sqrt2 a^3+ \frac{3}{ab-b^2}\ge 10$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

5 Sea $n$ un entero positivo y considere una disposición de $2n$ bloques en línea recta, donde $n$ de ellos son rojos y el resto azules. Un intercambio consiste en elegir dos bloques consecutivos y luego intercambiar sus posiciones. Sea $A$ el número mínimo de intercambios necesarios para que los primeros $n$ bloques sean todos rojos y sea $B$ el número mínimo de intercambios necesarios para que los primeros $n$ bloques sean todos azules. Demuestre que $A+B$ es independiente de la disposición inicial y determine su valor.

2 En $\vartriangle ABC, AB=AC=14 \sqrt2 , D$ es el punto medio de $CA$ y $E$ es el punto medio de $BD$ . Suponga que $\vartriangle CDE$ es semejante a $\vartriangle ABC$ . Halle la longitud de $BD$ .