3 Sean $m$ y $n$ dos enteros positivos tales que $m<n$ . $n$ puntos distintos $X_1,\ldots , X_n$ están en el interior del disco unitario y al menos uno de ellos está sobre su borde. Demuestre que podemos encontrar $m$ puntos distintos $X_{i_1},\ldots , X_{i_m}$ tales que la distancia entre su centro de gravedad y el centro de la circunferencia sea al menos $\frac{1}{1+2m(1- 1/n)}$ .

1 Determine todas las funciones $f$ de valores reales definidas sobre el conjunto de los números reales que satisfacen \[2f(x)=f(x+y)+f(x+2y)\] para todos los números reales $x$ y todos los números reales no negativos $y$ .

2 Demuestre que el conjunto $S=\{\lfloor n\pi\rfloor \mid n=0,1,2,3,\ldots\}$ contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud finita, pero ninguna progresión aritmética infinita. Vasile Pop

1 Halle todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: para todo primo $p$ , si $n$ es un residuo cuadrático $\mod p$ , entonces $an^2+bn+c$ es un residuo cuadrático $\mod p$ .

1 Suponga que un cuadrado de lado $l$ está dentro de un cuadrado unitario y no contiene su centro. Demuestre que $l\le 1/2.$ Marius Cavachi

4 Dado un entero $n\ge 2$ , calcule $\sum_{\sigma} \textrm{sgn}(\sigma) n^{\ell(\sigma)}$ , donde se consideran todas las permutaciones de $n$ elementos, y donde $\ell(\sigma)$ es el número de ciclos disjuntos en la descomposición estándar de $\sigma$ .

3 Dado un número entero positivo $n$ , determine el número máximo de aristas que puede tener un grafo simple con $n$ vértices tal que no contenga ciclos de longitud par.

3 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB<AC$ . La mediatriz del lado $BC$ corta al lado $AC$ en el punto $D$ , y la bisectriz (interior) del ángulo $ADB$ corta a la circunferencia circunscrita $ABC$ en el punto $E$ . Demuestre que la bisectriz (interior) del ángulo $AEB$ y la recta que pasa por los incentros de los triángulos $ADE$ y $BDE$ son perpendiculares.

3 Demuestra que para todo entero \(S\ge100\) existe un entero \(P\) para el cual la siguiente historia podría ser cierta: El matemático pregunta al dueño de la tienda: ``¿Cuánto cuestan la mesa, el armario y la estantería?'' El dueño responde: ``Cada artículo cuesta una cantidad entera positiva de euros. La mesa es más cara que el armario, y el armario es más caro que la estantería. La suma de los tres precios es \(S\) y su producto es \(P\).'' El matemático piensa y se queja: ``¡Esta información no es suficiente para determinar los tres precios!'' (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

1 Demuestre que hay infinitos números enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene dos divisores positivos cuya diferencia es $n$ . Amir