G8 Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , y $$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$$ Sean $A_2,$ el punto donde $BC_1$ y $CB_1$ se cortan, $B_2,$ el punto donde $CA_1$ y $AC_1$ se cortan, y $C_2.$ el punto donde $AB_1$ y $BA_1$ se cortan. Demuestre que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces las tres circunferencias circunscritas de los triángulos $AA_1A_2, BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todas por dos puntos comunes. (Nota: un triángulo escaleno es aquel en el que no hay dos lados de igual longitud.) Propuesto por Ankan Bhattacharya, EE. UU.

C5 Sea $\mathcal{S}$ un conjunto de $10$ puntos en un plano que se encuentran dentro de un disco de radio $1$ mil millones. Defina un $move$ como elegir un punto $P \in \mathcal{S}$ y reflejarlo respecto al baricentro de $\mathcal{S}$ . ¿Existe siempre una sucesión de a lo sumo $1500$ movimientos tras la cual todos los puntos de $\mathcal{S}$ estén contenidos en un disco de radio $10$ ? Advaith Avadhanam

C6 Para enteros positivos $a$ y $b$ , una barajada $(a,b)$ de una baraja de $a+b$ cartas es cualquier barajada que preserva el orden relativo de las $a$ cartas superiores y el orden relativo de las $b$ cartas inferiores. Sean $n$ , $k$ , $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_k$ , $b_1$ , $b_2$ , $\dots$ , $b_k$ enteros positivos fijos tales que $a_i+b_i=n$ para todo $1\leq i\leq k$ . Big Bird tiene una baraja de $n$ cartas y realizará una barajada $(a_i,b_i)$ para cada $1\leq i\leq k$ , en orden ascendente de $i$ . Suponga que Big Bird puede invertir el orden de la baraja. Demuestre que Big Bird también puede lograr cualquiera de las $n!$ permutaciones de las cartas. Linus Tang

N8 Determine todas las funciones $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$ , \[ f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b). \] KevinYang2.71

G3 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $\omega_1,\omega_2$ con centros en $O_1$ , $O_2$ y tangentes a la recta $BC$ en $B$ , $C$ respectivamente. Sea la recta $AB$ que corta a $\omega_1$ de nuevo en $X$ y sea la recta $AC$ que corta a $\omega_2$ de nuevo en $Y$ . Si $Q$ es la otra intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $AXY$ , entonces demuestre que las rectas $AQ$ , $BC$ y $O_1O_2$ o bien concurren o bien son todas paralelas. Advaith Avadhanam

G7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno. Se eligen puntos $D$ , $E$ y $F$ en $\overline{BC}$ , $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$ , respectivamente, tales que $\angle BDF=\angle CDE$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDE$ y $CDF$ cortan a la recta $EF$ de nuevo en $X$ y $Y$ , respectivamente, y se cortan entre sí de nuevo en $P$ . Las rectas $BX$ y $CY$ se cortan en $Q$ . Demuestre que $P$ , $A$ y $Q$ son colineales. Grant Blitz

2 Sea $X=\{1,2,\ldots,2001\}$ . Halle el entero positivo más pequeño $m$ tal que para cada subconjunto $W\subset X$ con $m$ elementos, existan $u,v\in W$ (no necesariamente distintos) tales que $u+v$ sea de la forma $2^{k}$ , donde $k$ es un entero positivo.

3 Un club de tenis de mesa organiza una serie de partidos de dobles de acuerdo con las siguientes reglas: (i) cada jugador pertenece a lo sumo a dos parejas; (ii) cada dos parejas distintas juegan a lo sumo un partido entre sí; (iii) los jugadores de una misma pareja no juegan entre sí cuando se emparejan respectivamente con otros. Cada jugador juega un cierto número de partidos en esta serie. Todos estos números distintos forman un conjunto denominado el «conjunto de partidos». Considere un conjunto $A=\{a_1,a_2,\ldots ,a_k\}$ de enteros positivos tal que todo elemento de $A$ sea divisible por $6$ . Determine el número mínimo de jugadores necesarios para participar en esta serie de modo que exista un calendario para el cual el conjunto de partidos correspondiente sea igual al conjunto $A$ .

A1 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. Determine todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$ , $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$ Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica

2 Sea $M$ un $n$ -ágono convexo. Sea $k$ el número mínimo de puntos que pueden colocarse estrictamente dentro de $M$ de modo que dentro de todo pentágono cuyos vértices son vértices de $M$ haya exactamente $3$ de los puntos marcados. Demuestre que $k \geqslant n-2$ .