A5 ¿Existen polinomios $P, Q$ con coeficientes reales, tales que $P(P(x))\cdot Q(Q(x)) tenga exactamente $2023$ raíces reales distintas y $P(Q(x)) \cdot Q(P(x))$ tenga exactamente $2024$ raíces reales distintas?

A4 Demuestra que existe un real $c<\frac{3}{4}$ tal que para cada sucesión $x_1, x_2, \ldots$ que cumpla $0 \leq x_i \leq 1$ para todo $i$, existen infinitos pares $(m, n)$ con $m>n$ tales que $$|x_m-x_n|\leq \frac{c} {m}.$$

A3 Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(xy+f(x^2))=xf(x+y)$$ para todos los reales $x, y$ .

A2 Sean $a, b, c, d$ reales no negativos tales que $\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}=1$ . Demuestra que existe una permutación $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ de $(a, b, c, d)$ , tal que $$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1 \geq 4.$$

5 Los números reales $a$ y $b$ satisfacen el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} a^3-a^2+a-5=0 \\ b^3-2b^2+2b+4=0 \end{cases}$$ Halle el valor numérico de la suma $a+ b$ .

A1 Encuentra todas las funciones $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $x,y \in \mathbb{R}$ , \[xf(x+f(y))=(y-x)f(f(x)).\] Propuesto por Nikola Velov, Macedonia

1 En un tablero cuadrado con $9$ casillas (tres por tres), deben colocarse nueve elementos del conjunto $S=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, distintos entre sí, de modo que cada uno quede en una casilla y se cumplan las siguientes condiciones: $\bullet$ Las sumas de los números de la segunda y tercera filas son, respectivamente, el doble y el triple de la suma de los números de la primera fila. $\bullet$ La suma de los números de la segunda y tercera columnas son, respectivamente, el doble y el triple de la suma de los números de la primera columna. Muestra todas las formas posibles de colocar elementos de $S$ en el tablero, cumpliendo las condiciones indicadas.

2 En el rectángulo $ABCD$, $M, N, P$ y $Q$ son los puntos medios de los lados. Si el área del triángulo sombreado es $1$, calcula el área del rectángulo $ABCD$.

Para los números reales positivos $ a,b,c,d$ demuestra que \[ \frac c{a + 2b} + \frac d{b + 2c} + \frac a{c + 2d} + \frac b{d + 2a} \geq \frac 43.\]

1 Demuestra que la ecuación $ x^{5} + 31 = y^{2}$ no tiene solución entera.