4 Sea $ \,ABC\,$ un triángulo y $ \,P\,$ un punto interior de $ \,ABC\,$ . Demuestre que al menos uno de los ángulos $ \,\angle PAB,\;\angle PBC,\;\angle PCA\,$ es menor o igual que $ 30^{\circ }$ .

6 En cada casilla de un tablero de $2025 \times 2025$ se escribe un número real no negativo de tal manera que la suma de los números de cada fila es igual a $1$ , y la suma de los números de cada columna es igual a $1$ . Defina $r_i$ como el mayor valor de la fila $i$ , y sea $R = r_1 + r_2 + ... + r_{2025}$ . Análogamente, defina $c_i$ como el mayor valor de la columna $i$ , y sea $C = c_1 + c_2 + ... + c_{2025}$ . ¿Cuál es el mayor valor posible de $\frac{R}{C}$ ? Propuesto por Paulius Aleknavičius, Lituania, y Anghel David Andrei, Rumania

6 Para un entero positivo $n$ y un número primo $p$ dados, halle el valor mínimo del entero positivo $m$ que satisface la siguiente propiedad: para cualquier polinomio $$f(x)=(x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_n)$$ ( $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son enteros positivos), y para cualquier entero no negativo $k$ , existe un entero no negativo $k'$ tal que $$v_p(f(k))<v_p(f(k'))\leq v_p(f(k))+m.$$ Nota: para un entero no nulo $N$ , $v_p(N)$ es el mayor entero no nulo $t$ que satisface $p^t\mid N$ .

3 Sea $ S$ un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita de $ PQR.$ Entonces los pies de las perpendiculares trazadas desde S a los tres lados del triángulo están sobre una misma recta. Denotemos esta recta por $ l(S, PQR).$ Suponga que el hexágono $ ABCDEF$ está inscrito en una circunferencia. Demuestre que las cuatro rectas $ l(A,BDF),$ $ l(B,ACE),$ $ l(D,ABF),$ y $ l(E,ABC)$ se intersecan en un punto si y solo si $ CDEF$ es un rectángulo.

4 Demuestra que: Si $g$ es una función real no constante, definida en un intervalo $I\subset R$ tal que para $m \ge 2$, $g o g o g o ...o g = g^m$ es igual a la identidad, es decir, $g (g(...(g(x))... )) = x$ para todo $x \in I$, entonces $g(g(x)) = x$ para todo $x \in I$.

1 En un tablero de ajedrez infinitamente grande con casillas blancas y negras se selecciona una lista conexa de $1976$ casillas. Si se entiende la lista de casillas como un edificio y las casillas como habitaciones con puertas en los paneles laterales, entonces cada habitación debe ser alcanzable desde cada habitación, sin salir del edificio. Demuestra que al menos una cuarta parte de las casillas seleccionadas es blanca y que esta cota no puede mejorarse.

4 Se dan $n$ $k$ - gonos convexos en el plano que se intersecan dos a dos. Cualquiera de ellos puede transformarse en cualquier otro mediante una homotecia con coeficiente positivo. Demuestre que existe un punto en el plano que pertenece al menos a $1 +\frac{n-1}{2k}$ de estos $k$ - gonos.

$A$$n$$copy$$A$$A$$n$$copies$$A$$4$$A$$A$$0$

B1 Encuentra el área de un octágono convexo que está inscrito en un círculo y tiene cuatro lados consecutivos de longitud $3$ y los cuatro lados restantes de longitud $2$. Da la respuesta en la forma $r+s\sqrt{t}$ con $r, s, t$ enteros positivos.

3 Los números racionales positivos $a$ y $b$ se escriben como fracciones decimales y cada uno tiene un período mínimo de 30 dígitos. En la representación decimal de $a-b$ , el período es de al menos $15$ . Halle el valor mínimo de $k\in\mathbb{N}$ tal que, en la representación decimal de $a+kb$ , la longitud del período sea al menos $15$ . A. Golovanov