4 Sea $S$ una lista de enteros positivos — no necesariamente distintos — en la que aparece el número 68. El promedio (media aritmética) de los números en $S$ es 56. Sin embargo, si se elimina 68, el promedio de los números restantes baja a 55. ¿Cuál es el número más grande que puede aparecer en $S$?

1 En un trapecio equilátero, el punto $O$ es el punto medio de la base $AD$ . Una circunferencia con centro en el punto $O$ y radio $BO$ es tangente a la recta $AB$ . Sea el segmento $AC$ que interseca a esta circunferencia en el punto $K(K \ne C)$ , y sea $M$ un punto tal que $ABCM$ es un paralelogramo. La circunferencia circunscrita del triángulo $CMD$ interseca al segmento $AC$ en un punto $L(L\ne C)$ . Demuestre que $AK=CL$ .

11 (a) Halle la reordenación $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Halle la reordenación que minimiza $Q.$ Amir

C5 Sea $n$ un entero positivo. Halle el mayor entero $M$ tal que para cualesquiera enteros positivos distintos $a_1,\ldots,a_n$ con suma $M$ existen enteros $b_1,\ldots,b_n \in \{-2,-1,0,1,2\}$ , no todos iguales a $0$ , tales que $\sum_{i=1}^n a_ib_i = 0$ . Observación Desafortunadamente, este problema resultó no ser original; de lo contrario, muy probablemente habría sido P4. Véase Poland Final Round 2009 . Aunque no éramos conscientes de este problema, también tenemos el muy similar Romania JBMO TST 2022 / Romania IMO TST 1996 .

22 Demuestra que el conjunto $ \{1,2, \ldots, 1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $ A_i, \{i = 1,2, \ldots, 117\}$ tales que i.) cada $ A_i$ contiene 17 elementos ii.) la suma de todos los elementos en cada $ A_i$ es la misma.

Sea $n$ un entero positivo. Fernando y Julián juegan de la siguiente manera: Fernando escribe en el pizarrón una lista de $n$ enteros positivos. Luego, Julián borra algunos de ellos (puede no borrar ninguno, pero no puede borrarlos todos) y asigna un signo (ya sea $+$ o $-$ ) a cada número restante. Si la suma de los números resultantes en el pizarrón es un múltiplo de $2012$ , gana Julián; en caso contrario, gana Fernando. Determine, para cada valor de $n$ , quién tiene una estrategia ganadora. Aclaración: el múltiplo de $2012$ no es necesariamente positivo.

16 Sea $K$ el conjunto $\{a, b, c, d, e\}$ . $F$ es una colección de $16$ subconjuntos distintos de $K$ , y se sabe que cualesquiera tres miembros de $F$ tienen al menos un elemento en común. Muestre que los $16$ miembros de $F$ tienen exactamente un elemento en común. Amir

3 Un cubo de $4\times4\times4$ está compuesto por $64$ cubos unitarios. Las caras de $16$ cubos unitarios deben colorearse de rojo. Un coloreado se llama interesante si hay exactamente $1$ cubo unitario rojo en cada caja rectangular de $1\times1\times 4$ compuesta por $4$ cubos unitarios. Determine el número de coloreados interesantes.

Sean $O$ , $I$ y $\omega$ el circuncentro, el incentro y la circunferencia inscrita del triángulo no equilátero $\triangle ABC$ . Sea $\omega_A$ la única circunferencia tangente a $AB$ y $AC$ tal que la cuerda común de $\omega_A$ y $\omega$ pasa por el centro de $\omega_A$ . Sea $O_A$ el centro de $\omega_A$ . Defina $\omega_B, O_B, \omega_C, O_C$ de manera análoga. Si $\omega$ toca a $BC$ , $CA$ , $AB$ en $D$ , $E$ , $F$ respectivamente, demuestre que las perpendiculares trazadas desde $D$ , $E$ , $F$ a $O_BO_C , O_CO_A , O_AO_B$ son concurrentes sobre la recta $OI$ . Pitchayut Saengrungkongka

3 La circunferencia inscrita del triángulo $ ABC $ tiene centro $I$ y toca los lados $ BC $ , $ CA $ , $ AB $ en los puntos $ A_1 $ , $ B_1 $ , $ C_1 $ , respectivamente. Sean $ I_a $ , $ I_b $ , $ I_c $ los excentros del triángulo $ ABC $ , que tocan los lados $ BC $ , $ CA $ , $ AB $ respectivamente. Los segmentos $ I_aB_1 $ y $ I_bA_1 $ se intersecan en $ C_2 $ . De manera similar, los segmentos $ I_bC_1 $ y $ I_cB_1 $ se intersecan en $ A_2 $ , y los segmentos $ I_cA_1 $ y $ I_aC_1 $ en $ B_2 $ . Demuestre que $ I $ es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ A_2B_2C_2 $ . L. Emelyanov, A. Polyansky