Olimpiada Nacional de Bulgaria 1980 Problema 2
(a) Demuestre que el área de un cuadrilátero convexo dado es al menos el doble del área de un cuadrilátero convexo arbitrario inscrito en él cuyos lados son paralelos a las diagonales del original. (b) Un tetraedro con área superficial $S$ es intersecado por un plano perpendicular a dos aristas opuestas. Si el área de la sección transversal es $Q$ , demuestre que $S>4Q$ .
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Olimpiada Nacional de Bulgaria 1980 Problema 3
Cada diagonal de la base y cada arista lateral de una pirámide de $9$ lados está coloreada de verde o de rojo. Demuestre que debe existir un triángulo con vértices en los vértices de la pirámide cuyos tres lados son todos del mismo color.
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Olimpiada Nacional de Bulgaria 1980 Problema 4
Si $a,b,c$ son números reales no negativos arbitrarios, demuestre la desigualdad $$a^3+b^3+c^3+6abc\ge\frac14(a+b+c)^3$$ con igualdad si y solo si dos de los números son iguales y el tercero es igual a cero.
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Hungaryisrael Binational 1992 Problema 1
1 Demuestre que si $c$ es un número positivo distinto de $1$ y $n$ un entero positivo, entonces \[n^{2}\leq \frac{c^{n}+c^{-n}-2}{c+c^{-1}-2}. \] N.T.TUAN
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Olimpiada Nacional de Bulgaria 1979 Problema 1
Demuestre que no existen enteros $x$ e $y$ que satisfagan $x^2 + 5 = y^3$ . Daniel Harrer
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Olimpiada Nacional de Bulgaria 1980 Problema 6
Demuestre que si todas las aristas laterales de una pirámide pentagonal tienen la misma longitud y todos los ángulos entre caras laterales vecinas son iguales, entonces la pirámide es regular.
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Olimpiada Nacional de Bulgaria 1979 Problema 2
Se toman puntos $P,Q,R,S$ sobre las aristas respectivas $AC$ , $AB$ , $BD$ y $CD$ de un tetraedro $ABCD$ de modo que $PR$ y $QS$ se intersecan en el punto $N$ y $PS$ y $QR$ se intersecan en el punto $M$ . La recta $MN$ corta al plano $ABC$ en el punto $L$ . Demuestre que las rectas $AL$ , $BP$ y $CQ$ son concurrentes.
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Olimpiada Nacional de Bulgaria 1978 Problema 4
Halle el mayor valor real posible de $S$ y el menor valor posible de $T$ tales que para todo triángulo con lados $a,b,c$ $(a\le b\le c)$ se cumplan las desigualdades: $$S\le\frac{(a+b+c)^2}{bc}\le T.$$
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Olimpiada Nacional de Bulgaria 1977 Problema 1
Para un número natural $n$ y números reales $\alpha$ y $x$ que satisfacen las desigualdades $\alpha^{n+1}\le x\le1$ y $0<\alpha<1$ . Demuestre que $$\prod_{k=1}^n\left|\frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k}\right|\le\prod_{k=1}^n\left|\frac{1-\alpha^k}{1+\alpha^k}\right|.$$ Borislav Boyanov
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Olimpiada Nacional de Bulgaria 1978 Problema 6
La base de la pirámide con vértice $S$ es un pentágono $ABCDE$ para el cual $BC>DE$ y $AB>CD$ . Si $AS$ es la arista más larga de la pirámide, demuestre que $BS>CS$ . Jordan Tabov
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