15 Define un dominó como un par ordenado de enteros positivos distintos. Una secuencia propia de dominós es una lista de dominós distintos en la que la primera coordenada de cada par después del primero es igual a la segunda coordenada del par inmediatamente anterior, y en la que $(i,j)$ y $(j,i)$ no aparecen ambos para ningún $i$ y $j.$ Sea $D_{40}$ el conjunto de todos los dominós cuyas coordenadas no son mayores que 40. Encuentra la longitud de la secuencia propia más larga de dominós que se puede formar usando los dominós de $D_{40}.$

6 El punto $B$ está en el exterior del polígono regular de $n$ lados $A_1A_2\cdots A_n,$ y $A_1A_2B$ es un triángulo equilátero. ¿Cuál es el mayor valor de $n$ para el cual $A_n, A_1,$ y $B$ son vértices consecutivos de un polígono regular?

4 círculos de radios 5, 5, 8 y $m/n$ son mutuamente tangentes externamente, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

1 ¿Cuántos de los enteros entre 1 y 1000, inclusive, pueden expresarse como la diferencia de los cuadrados de dos enteros no negativos?

2 $ n>2$ es un entero tal que $ n^2$ puede representarse como una diferencia de cubos de 2 enteros positivos consecutivos. Demuestre que $ n$ es una suma de 2 cuadrados de enteros positivos, y que tal $ n$ existe.

5 El número $r$ puede expresarse como un decimal de cuatro lugares $0.abcd,$ donde $a, b, c$ y $d$ representan dígitos, cualquiera de los cuales podría ser cero. Se desea aproximar $r$ mediante una fracción cuyo numerador sea 1 o 2 y cuyo denominador sea un entero. La fracción más cercana a $r$ entre tales fracciones es $\frac{2}{7}.$ ¿Cuál es el número de valores posibles para $r$?

3 Sarah quería multiplicar un número de dos dígitos y un número de tres dígitos, pero omitió el signo de multiplicación y simplemente colocó el número de dos dígitos a la izquierda del número de tres dígitos, formando así un número de cinco dígitos. Este número es exactamente nueve veces el producto que Sarah debería haber obtenido. ¿Cuál es la suma del número de dos dígitos y el número de tres dígitos?

10 Cada carta de una baraja tiene la imagen de una forma — círculo, cuadrado o triángulo, que está pintada en uno de los tres colores — rojo, azul o verde. Además, cada color se aplica en uno de los tres tonos — claro, medio u oscuro. La baraja tiene 27 cartas, con cada combinación de forma-color-tono representada. Un conjunto de tres cartas de la baraja se llama complementario si todas las siguientes afirmaciones son verdaderas: i. O cada una de las tres cartas tiene una forma diferente o las tres cartas tienen la misma forma. ii. O cada una de las tres cartas tiene un color diferente o las tres cartas tienen el mismo color. iii. O cada una de las tres cartas tiene un tono diferente o las tres cartas tienen el mismo tono. ¿Cuántos conjuntos complementarios diferentes de tres cartas hay?

11 Sea $x=\frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \cos n^\circ}{\displaystyle \sum_{n=1}^{44} \sin n^\circ}.$ ¿Cuál es el mayor entero que no excede a $100x$?

12 La función $f$ definida por $\displaystyle f(x)= \frac{ax+b}{cx+d}$, donde $a,b,c$ y $d$ son números reales distintos de cero, tiene las propiedades $f(19)=19$, $f(97)=97$ y $f(f(x))=x$ para todos los valores excepto $\displaystyle \frac{-d}{c}$. Encuentra el número único que no está en el rango de $f$.