7 Un grupo de empleados tiene la tarea de clasificar $1775$ archivos. Cada empleado clasifica a una tasa constante de $30$ archivos por hora. Al final de la primera hora, algunos de los empleados son reasignados a otra tarea; al final de la segunda hora, el mismo número de los empleados restantes también son reasignados a otra tarea, y una reasignación similar ocurre al final de la tercera hora. El grupo termina la clasificación en $3$ horas y $10$ minutos. Encuentra el número de archivos clasificados durante la primera hora y media de clasificación.

El dominio de la función $f(x) = \text{arcsin}(\log_{m}(nx))$ es un intervalo cerrado de longitud $\frac{1}{2013}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $m > 1$. Encuentra el residuo cuando la menor suma posible $m+n$ se divide entre $1000$.

9 Un triángulo equilátero de papel $ABC$ tiene lado de longitud $12$. El triángulo de papel se dobla de modo que el vértice $A$ toca un punto sobre el lado $\overline{BC}$ a una distancia $9$ del punto $B$. La longitud del segmento de línea a lo largo del cual se dobla el triángulo se puede escribir como $\frac{m\sqrt{p}}{n}$, donde $m$, $n$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $n$ son primos relativos, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $m+n+p$. [asy] import cse5; size(12cm); pen tpen = defaultpen + 1.337; real a = 39/5.0; real b = 39/7.0; pair B = MP("B", (0,0), dir(200)); pair A = MP("A", (9,0), dir(-80)); pair C = MP("C", (12,0), dir(-20)); pair K = (6,10.392); pair M = (a*B+(12-a)*K) / 12; pair N = (b*C+(12-b)*K) / 12; draw(B--M--N--C--cycle, tpen); draw(M--A--N--cycle); fill(M--A--N--cycle, mediumgrey); pair shift = (-20.13, 0); pair B1 = MP("B", B+shift, dir(200)); pair A1 = MP("A", K+shift, dir(90)); pair C1 = MP("C", C+shift, dir(-20)); draw(A1--B1--C1--cycle, tpen);[/asy]

10 Dado un círculo de radio $\sqrt{13}$, sea $A$ un punto a una distancia $4 + \sqrt{13}$ del centro $O$ del círculo. Sea $B$ el punto del círculo más cercano al punto $A$. Una recta que pasa por el punto $A$ interseca al círculo en los puntos $K$ y $L$. El área máxima posible para $\triangle BKL$ se puede escribir en la forma $\tfrac{a-b\sqrt{c}}{d}$, donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son enteros positivos, $a$ y $d$ son primos relativos, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $a+b+c+d$.

11. La clase de kindergarten de la Sra. Math tiene $16$ estudiantes registrados. El salón tiene una cantidad muy grande, $N$, de bloques de juego que satisface las condiciones: (a) Si están presentes $16$, $15$ o $14$ estudiantes, entonces en cada caso todos los bloques se pueden repartir en cantidades iguales a cada estudiante, y (b) Hay tres enteros $0 < x < y < z < 14$ tales que cuando están presentes $x$, $y$ o $z$ estudiantes y los bloques se reparten en cantidades iguales a cada estudiante, quedan exactamente tres bloques sobrantes. Encuentra la suma de los divisores primos distintos del menor valor posible de $N$ que satisface las condiciones anteriores. Lord.of.AMC

12 Sea $\triangle PQR$ un triángulo con $\angle P = 75^\circ$ y $\angle Q = 60^\circ$. Un hexágono regular $ABCDEF$ con lado de longitud 1 se dibuja dentro de $\triangle PQR$ de modo que el lado $\overline{AB}$ esté sobre $\overline{PQ}$, el lado $\overline{CD}$ esté sobre $\overline{QR}$, y uno de los vértices restantes esté sobre $\overline{RP}$. Hay enteros positivos $a$, $b$, $c$ y $d$ tales que el área de $\triangle PQR$ se puede expresar en la forma $\tfrac{a+b\sqrt c}d$, donde $a$ y $d$ son primos relativos y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $a+b+c+d$.

13. El triángulo $AB_0C_0$ tiene lados de longitudes $AB_0 = 12$, $B_0C_0 = 17$ y $C_0A = 25$. Para cada entero positivo $n$, los puntos $B_n$ y $C_n$ están ubicados en $\overline{AB_{n-1}}$ y $\overline{AC_{n-1}}$, respectivamente, creando tres triángulos semejantes $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1} \sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}$. El área de la unión de todos los triángulos $B_{n-1}C_nB_n$ para $n\geq1$ se puede expresar como $\tfrac pq$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos relativamente primos. Encuentra $q$. Lord.of.AMC

14 Para $\pi\leq\theta<2\pi$, sea \[ P=\dfrac12\cos\theta-\dfrac14\sin2\theta-\dfrac18\cos3\theta+\dfrac1{16}\sin4\theta+\dfrac1{32}\cos5\theta-\dfrac1{64}\sin6\theta-\dfrac1{128}\cos7\theta+\ldots \] y \[ Q=1-\dfrac12\sin\theta-\dfrac14\cos2\theta+\dfrac1{8}\sin3\theta+\dfrac1{16}\cos4\theta-\dfrac1{32}\sin5\theta-\dfrac1{64}\cos6\theta+\dfrac1{128}\sin7\theta +\ldots \] de modo que $\tfrac PQ = \tfrac{2\sqrt2}7$. Entonces $\sin\theta = -\tfrac mn$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$. Lord.of.AMC

15 Sean \(A,B,C\) los ángulos de un triángulo obtuso con \(\angle B > 90^{\circ}\) y que cumplen \[ \begin{align*} \cos^2 A + \cos^2 B + 2 \sin A \sin B \cos C &= \frac{15}{8} \quad \text{y} \\ \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \sin B \sin C \cos A &= \frac{14}{9}. \end{align*} \] Existen enteros positivos \(p\), \(q\), \(r\) y \(s\) tales que \[ \cos^2 C + \cos^2 A + 2 \sin C \sin A \cos B = \frac{p-q\sqrt{r}}{s}, \] donde \(p+q\) y \(s\) son primos relativos y \(r\) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \(p+q+r+s\).

1 Encuentra el número de enteros positivos con tres dígitos no necesariamente distintos, $abc$, con $a \neq 0$, $c \neq 0$ tales que tanto $abc$ como $cba$ son divisibles por 4. Lord.of.AMC