4 Sea $f:\mathbb{Z}\rightarrow\{ 1,2,\ldots ,n\}$ una función tal que $f(x)\not= f(y)$ , para todo $x,y\in\mathbb{Z}$ tales que $|x-y|\in\{2,3,5\}$ . Demuestre que $n\ge 4$ . Ioan Tomescu

3 Después de las elecciones, cada miembro del parlamento (MP) tiene su propia calificación absoluta. Cuando el parlamento se constituye, ingresa en un grupo y obtiene una calificación relativa. La calificación relativa es el cociente entre su propia calificación absoluta y la suma de todas las calificaciones absolutas de los miembros del parlamento del grupo. Un miembro del parlamento puede pasar de un grupo a otro solo si en su nuevo grupo su calificación relativa es mayor. En un día dado, solo un miembro del parlamento puede cambiar de grupo. Demuestre que solo es posible un número finito de cambios de grupo. (Una calificación es un número real positivo.)

1 Sean $m,n$ enteros positivos de paridades distintas y tales que $m<n<5m$ . Demuestre que existe una partición en subconjuntos de dos elementos del conjunto $\{ 1,2,3,\ldots ,4mn\}$ tal que la suma de los números de cada conjunto es un cuadrado perfecto. Dinu Șerbănescu

1 Sea $(a_n)_{n\ge 1}$ una sucesión de enteros positivos definida por $a_1,a_2>0$ y $a_{n+1}$ es el menor divisor primo de $a_{n-1}+a_{n}$ , para todo $n\ge 2$ . Demuestre que un número real $x$ cuyos decimales son los dígitos de los números $a_1,a_2,\ldots a_n,\ldots $ escritos en orden, es un número racional. Laurentiu Panaitopol

2 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC\not= BC,AB<AC$ y sea $K$ su circunferencia circunscrita. La tangente a $K$ en el punto $A$ interseca la recta $BC$ en el punto $D$ . Sea $K_1$ la circunferencia tangente a $K$ y a los segmentos $(AD),(BD)$ . Denotamos por $M$ el punto donde $K_1$ toca a $(BD)$ . Demuestre que $AC=MC$ si y solo si $AM$ es la bisectriz del $\angle DAB$ . Neculai Roman

3 Hay $n$ jugadores, $n\ge 2$ , que juegan un juego de cartas con $np$ cartas en $p$ rondas. Las cartas están coloreadas con $n$ colores y cada color está etiquetado con los números $1,2,\ldots ,p$ . El juego se somete a las siguientes reglas: cada jugador recibe $p$ cartas. El jugador que comienza la primera ronda lanza una carta y cada jugador debe descartar una carta del mismo color, si tiene una; en caso contrario, puede dar una carta arbitraria. El ganador de la ronda es el jugador que ha puesto la carta mayor del mismo color que la primera. El ganador de la ronda comienza la siguiente ronda con una carta que él selecciona y el juego continúa con las mismas reglas. Las cartas jugadas quedan fuera del juego. Demuestre que si todas las cartas etiquetadas con el número $1$ son ganadoras, entonces $p\ge 2n$ . Barbu Berceanu

1 Demuestre que si $a,b,c$ son números complejos tales que \[ (a+b)(a+c)=b \qquad (b+c)(b+a)=c \qquad (c+a)(c+b)=a\] entonces $a,b,c$ son números reales.

2 a) Sean $f,g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ funciones inyectivas. Demuestre que la función $h:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ definida por $h(x)=f(x)g(x)$ , para todo $x\in\mathbb{Z}$ , no puede ser una función sobreyectiva. b) Sea $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ una función sobreyectiva. Demuestre que existen funciones sobreyectivas $g,h:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tales que $f(x)=g(x)h(x)$ , para todo $x\in\mathbb{Z}$ .

3 Los lados de un triángulo tienen longitudes $a,b,c$ . Demuestre que: \begin{align*}(-a+b+c)(a-b+c)\, +\, & (a-b+c)(a+b-c)+(a+b-c)(-a+b+c)\\ &\le\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\end{align*}

4 Tres escuelas tienen $200$ estudiantes cada una. Todo estudiante tiene al menos un amigo en cada escuela (si el estudiante $a$ es amigo del estudiante $b$ entonces $b$ es amigo de $a$ ) . Se sabe que existe un conjunto $E$ de $300$ estudiantes (entre los $600$ ) tal que para cualquier escuela $S$ y cualesquiera dos estudiantes $x,y\in E$ que no estén en $S$ , los números de amigos en $S$ de $x$ y de $y$ son diferentes. Demuestre que se puede encontrar un estudiante en cada escuela tal que sean amigos entre sí.