1 En un triángulo $\triangle ABC$ con ortocentro $H$ , sean $BH$ y $CH$ que cortan a $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Si la recta tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ que pasa por $A$ corta a $BC$ en $P$ , $M$ es el punto medio de $AH$ y $EF$ corta a $BC$ en $G$ , entonces demuestre que $PM$ es paralela a $GH$ . Propuesto por Sreejato Bhattacharya

1 $ a,b,c,d,e,f $ son números reales. Se cumple que: $ a+b+c+d+e+f=20 $ $ (a-2)^2+(b-2)^2+...+(f-2)^2=24 $ Encuentre el valor máximo de d.

B1 Sea $n \ge 2$ un entero, y sea $O$ la matriz $n \times n$ cuyas entradas son todas iguales a $0$ . Se eligen dos entradas distintas de la matriz uniformemente al azar, y esas dos entradas se cambian de $0$ a $1$ . Llame $A$ a la matriz resultante. Determine la probabilidad de que $A^2 = O$ , como función de $n$ .

N6 Sea $(x_n)$, $n=1,2,\ldots$ una sucesión definida por $x_1=2008$ y \begin{align*} x_1 + x_2 + \ldots + x_{n-1} = \left( n^2-1 \right) x_n \qquad ~ ~ ~ \forall n \geq 2 \end{align*} Sea la sucesión $a_n = x_n + \frac{1}{n} S_n$, $n=1,2,3,\ldots$ donde $S_n = x_1+x_2+\ldots+x_n$. Determina los valores de $n$ para los cuales los términos de la sucesión $a_n$ son cuadrados perfectos de un entero.

A4 Para cada número real positivo $r$ , defina $a_0(r) = 1$ y $a_{n+1}(r) = \lfloor ra_n(r) \rfloor$ para todos los enteros $n \ge 0$ . (a) Demuestre que para cada número real positivo $r$ , el límite \[ L(r) = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n(r)}{r^n} \] existe. (b) Determine todos los valores posibles de $L(r)$ cuando $r$ varía sobre el conjunto de los números reales positivos. Aquí $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ .

3 Sea $A$ un conjunto no vacío de enteros con la siguiente propiedad: Para cada $a \in A$ , existen enteros no necesariamente distintos $b,c \in A$ tales que $a=b+c$ . (a) Demuestre que hay ejemplos de conjuntos $A$ que cumplen la propiedad anterior y que no contienen a $0$ como elemento. (b) Demuestre que existen $a_1,\ldots,a_r \in A$ con $r \ge 1$ y $a_1+\cdots+a_r=0$ . (c) Demuestre que existen $a_1,\ldots,a_r$ dos a dos distintos con $r \ge 1$ y $a_1+\cdots+a_r=0$ .

8 Sean $\displaystyle {x, y, z}$ números reales positivos tales que $\displaystyle {xyz = 1}$ . Demuestre la desigualdad: $$\displaystyle{\dfrac{1}{x\left(ay+b\right)}+\dfrac{1}{y\left(az+b\right)}+\dfrac{1}{z\left(ax+b\right)}\geq 3}$$ si: (A) $\displaystyle {a = 0, b = 1}$ (B) $\displaystyle {a = 1, b = 0}$ (C) $\displaystyle {a + b = 1, \; a, b> 0}$ ¿Cuándo se da la igualdad?

4 Halle todos los enteros $ b$ y $ c$ tales que la ecuación $ x^2 - bx + c = 0$ tiene dos raíces reales $ x_1, x_2$ que satisfacen $ x_1^2 + x_2^2 = 5$ .

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Suponga que los puntos $Q, A, B, P$ son colineales en ese orden, de tal manera que la recta $AC$ es tangente a la circunferencia $ADQ$ y la recta $BD$ es tangente a la circunferencia $BCP$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AD$ , respectivamente. Demuestre que las siguientes tres rectas son concurrentes: la recta $CD$ , la tangente a la circunferencia $ANQ$ en el punto $A$ , y la tangente a la circunferencia $BMP$ en el punto $B$ . ike.chen

9 Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n$ números reales positivos tales que $x_1+\ldots+x_n=y_1+\ldots+y_n=1$ . Demuestre que: $$|x_1-y_1|+\ldots+|x_n-y_n|\leq 2-\underset{1\leq i\leq n}{min} \;\dfrac{x_i}{y_i}-\underset{1\leq i\leq n}{min} \;\dfrac{y_i}{x_i}$$