3 Para cada entero $n\ge 1,$ calcule el menor valor posible de \[\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{a_k}{k}\right\rfloor\] sobre todas las permutaciones $(a_1,\dots,a_n)$ de $\{1,\dots,n\}.$ Propuesto por Shahjalal Shohag, Bangladesh

1 Sea $n$ un entero positivo. Se da un subconjunto $A$ de $\{0,1,...,5^n\}$ con $4n+2$ elementos. Demuestre que existen tres elementos $a<b<c$ de $A$ tales que $c+2a>3b$ . Propuesto por Dominik Burek y Tomasz Ciesla, Poland

2 Halle todos los enteros positivos $n\geq1$ tales que existe un par $(a,b)$ de enteros positivos, tal que $a^2+b+3$ no es divisible por el cubo de ningún primo, y $$n=\frac{ab+3b+8}{a^2+b+3}.$$

3 Considere una retícula cuadrada unitaria de $100\times 100$ , $\textbf{L}$ (por lo tanto $\textbf{L}$ tiene $10000$ puntos). Suponga que $\mathcal{F}$ es un conjunto de polígonos tal que todos los vértices de los polígonos de $\mathcal{F}$ están en $\textbf{L}$ y todo punto de $\textbf{L}$ es el vértice de exactamente un polígono de $\mathcal{F}.$ Halle la máxima suma posible de las áreas de los polígonos de $\mathcal{F}.$ Michael Ren y Ankan Bhattacharya, USA

1 Sea $n\geq 2$ un entero y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos con suma $1$ . Demuestre que $$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{1-a_k}(a_1+a_2+\cdots+a_{k-1})^2 < \frac{1}{3}.$$

2 Halle todos los enteros $n\geq 3$ para los cuales todo $n$ - gono convexo equilátero de lado $1$ contiene un triángulo equilátero de lado $1$ . (Aquí, los polígonos contienen sus fronteras.)

3 Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1,d_2,\ldots,d_k)$ tal que para $i=1,2,\ldots,k$ , el número $d_1+d_2+\cdots+d_i$ es un cuadrado perfecto.

1 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $n$ enteros positivos, y sean $b_1, b_2, \ldots, b_m$ $m$ enteros positivos tales que $a_1 a_2 \cdots a_n = b_1 b_2 \cdots b_m$ . Demuestre que una tabla rectangular con $n$ filas y $m$ columnas puede llenarse con entradas enteras positivas de tal manera que * el producto de las entradas de la $i$ - ésima fila es $a_i$ (para cada $i \in \left\{1,2,\ldots,n\right\}$ ) ; * el producto de las entradas de la $j$ - ésima fila es $b_j$ (para cada $i \in \left\{1,2,\ldots,m\right\}$ ) . darij

2 Dados dos enteros positivos $n$ y $m$ y una función $f : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \left\{0,1\right\}$ con la propiedad de que \begin{align*} f\left(i, j\right) = f\left(i+n, j\right) = f\left(i, j+m\right) \qquad \text{for all } \left(i, j\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} . \end{align*} Sea $\left[k\right] = \left\{1,2,\ldots,k\right\}$ para cada entero positivo $k$ . Sea $a$ el número de todos los $\left(i, j\right) \in \left[n\right] \times \left[m\right]$ que satisfacen \begin{align*} f\left(i, j\right) = f\left(i+1, j\right) = f\left(i, j+1\right) . \end{align*} Sea $b$ el número de todos los $\left(i, j\right) \in \left[n\right] \times \left[m\right]$ que satisfacen \begin{align*} f\left(i, j\right) = f\left(i-1, j\right) = f\left(i, j-1\right) . \end{align*} Demuestre que $a = b$ . darij

3 Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$ . Sea $P$ un punto del plano tal que $AP \perp BC$ . Sean $Q$ y $R$ los reflejos de $P$ en las rectas $CA$ y $AB$ , respectivamente. Sea $Y$ la proyección ortogonal de $R$ sobre $CA$ . Sea $Z$ la proyección ortogonal de $Q$ sobre $AB$ . Suponga que $H \neq O$ y $Y \neq Z$ . Demuestre que $YZ \perp HO$ . [asy] import olympiad; unitsize(30); pair A,B,C,H,O,P,Q,R,Y,Z,Q2,R2,P2; A = (-14.8, -6.6); B = (-10.9, 0.3); C = (-3.1, -7.1); O = circumcenter(A,B,C); H = orthocenter(A,B,C); P = 1.2 * H - 0.2 * A; Q = reflect(A, C) * P; R = reflect(A, B) * P; Y = foot(R, C, A); Z = foot(Q, A, B); P2 = foot(A, B, C); Q2 = foot(P, C, A); R2 = foot(P, A, B); draw(B--(1.6*A-0.6*B)); draw(B--C--A); draw(P--R, blue); draw(R--Y, red); draw(P--Q, blue); draw(Q--Z, red); draw(A--P2, blue); draw(O--H, darkgreen+linewidth(1.2)); draw((1.4*Z-0.4*Y)--(4.6*Y-3.6*Z), red+linewidth(1.2)); draw(rightanglemark(R,Y,A,10), red); draw(rightanglemark(Q,Z,B,10), red); draw(rightanglemark(C,Q2,P,10), blue); draw(rightanglemark(A,R2,P,10), blue); draw(rightanglemark(B,P2,H,10), blue); label("$\textcolor{blue}{H}$",H,NW); label("$\textcolor{blue}{P}$",P,N); label("$A$",A,W); label("$B$",B,N); label("$C$",C,S); label("$O$",O,S); label("$\textcolor{blue}{Q}$",Q,E); label("$\textcolor{blue}{R}$",R,W); label("$\textcolor{red}{Y}$",Y,S); label("$\textcolor{red}{Z}$",Z,NW); dot(A, filltype=FillDraw(black)); dot(B, filltype=FillDraw(black)); dot(C, filltype=FillDraw(black)); dot(H, filltype=FillDraw(blue)); dot(P, filltype=FillDraw(blue)); dot(Q, filltype=FillDraw(blue)); dot(R, filltype=FillDraw(blue)); dot(Y, filltype=FillDraw(red)); dot(Z, filltype=FillDraw(red)); dot(O, filltype=FillDraw(black)); [/asy] darij