6 Dado un entero positivo $n$, determina el mayor número real $\mu$ que satisface la siguiente condición: para todo conjunto $C$ de $4n$ puntos en el interior del cuadrado unitario $U$, existe un rectángulo $T$ contenido en $U$ tal que $\bullet$ los lados de $T$ son paralelos a los lados de $U$; $\bullet$ el interior de $T$ contiene exactamente un punto de $C$; $\bullet$ el área de $T$ es al menos $\mu$.

Definimos $I(n)$ como el resultado de invertir los dígitos de $n$. Por ejemplo, $I(123)=321$, $I(2008)=8002$. Encuentra todos los enteros $n$, $1\leq{n}\leq10000$ para los cuales $I(n)=\lceil{\frac{n}{2}}\rceil$. Nota: $\lceil{x}\rceil$ denota el entero más pequeño mayor o igual que $x$. Por ejemplo, $\lceil{2.1}\rceil=3$, $\lceil{3.9}\rceil=4$, $\lceil{7}\rceil=7$.

2 Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$. Sean $X$, $Y$ y $Z$ puntos en los lados $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $\angle PXC = \angle PYA = \angle PZB$. Sean $U$, $V$ y $W$ puntos en los lados $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente, o en sus prolongaciones si es necesario, con $X$ entre $B$ y $U$, $Y$ entre $C$ y $V$, y $Z$ entre $A$ y $W$, tales que $PU = 2PX$, $PV = 2PY$ y $PW = 2PZ$. Si el área del triángulo $XYZ$ es $1$, halla el área del triángulo $UVW$.

5 Sea $ABCD$ un paralelogramo y sean $AX$ y $AY$ las alturas desde $A$ a $CB, CD$, respectivamente. Una recta $\ell \perp XY$ biseca a $AX$ y corta a $AB, BC$ en $K, L$. De manera similar, una recta $d \perp XY$ biseca a $AY$ y corta a $DA, DC$ en $P, Q$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de $\triangle BKL$ y $\triangle DPQ$ son tangentes entre sí.

3 Dos amigos $A$ y $B$ deben resolver el siguiente acertijo. Cada uno recibe un número del conjunto $\{1,2,…,250\}$, pero no ven el número que recibió el otro. El objetivo de cada amigo es descubrir el número del otro. El procedimiento es el siguiente: cada amigo, por turnos, anuncia varios enteros positivos no necesariamente distintos: primero $A$ dice un número, luego $B$ dice uno, $A$ dice un número de nuevo, etc., de tal manera que la suma de todos los números dichos sea $20$. Demuestra que existe una estrategia que $A$ y $B$ hayan acordado previamente tal que puedan alcanzar el objetivo, sin importar qué número recibió cada uno al inicio del acertijo.

4 ¿Cuál es el mayor número de casillas que se pueden colorear en una tabla de $7\times7$ de manera que cualquier subtabla de $2\times2$ tenga a lo sumo 2 casillas coloreadas?

5 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con base $AB$. Se construye un semicírculo $\Gamma$ con su centro sobre el segmento $AB$ y que es tangente a los dos lados, $AC$ y $BC$. Considera una recta tangente a $\Gamma$ que corta a los segmentos $AC$ y $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. La recta perpendicular a $AC$ en $D$ y la recta perpendicular a $BC$ en $E$ se intersectan en $P$. Sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $AB$. Muestra que $\frac{PQ}{CP}=\frac{1}{2}\frac{AB}{AC}$.

3. El punto \( I_1 \) es el reflejo del incentro \( I \) del triángulo \( ABC \) respecto al lado \( BC \). La circunferencia de \( BCI_1 \) corta a la recta \( II_1 \) nuevamente en el punto \( P \). Se sabe que \( P \) está fuera de la circunferencia inscrita del triángulo \( ABC \). Las dos tangentes trazadas desde \( P \) a esta última circunferencia la tocan en los puntos \( X \) y \( Y \). Demuestra que la recta \( XY \) contiene una mediana del triángulo \( ABC \). Autor: L. Emelyanov

4 Punto $ I_1$ es el reflejo del incentro $ I$ del triángulo $ ABC$ respecto al lado $ BC$ . La circunferencia circunscrita de $ BCI_1$ interseca la línea $ II_1$ nuevamente en el punto $ P$ . Se sabe que $ P$ se encuentra fuera de la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC$ . Las dos tangentes trazadas desde $ P$ a dicha circunferencia la tocan en los puntos $ X$ y $ Y$ . Demuestra que la línea $ XY$ contiene una línea media del triángulo $ ABC$ . Autor: L. Emelyanov

3 100 cuadrados unitarios de un plano cuadriculado infinito forman un cuadrado de $10\times 10$. Los segmentos unitarios que forman estos cuadrados se colorean con varios colores. Se sabe que el borde de todo cuadrado con lados sobre las líneas de la cuadrícula contiene segmentos de a lo sumo dos colores. (Dicho cuadrado no está necesariamente contenido en el cuadrado original de $10\times 10$). ¿Cuál es el número máximo de colores que puede aparecer en esta coloración? Autor: S. Berlov