4 Sea $S$ una lista de enteros positivos — no necesariamente distintos — en la que aparece el número 68. El promedio (media aritmética) de los números en $S$ es 56. Sin embargo, si se elimina 68, el promedio de los números restantes baja a 55. ¿Cuál es el número más grande que puede aparecer en $S$?

3 Un punto $P$ se elige en el interior de $\triangle ABC$ de modo que al trazar rectas por $P$ paralelas a los lados de $\triangle ABC$, los triángulos más pequeños resultantes, $t_1$, $t_2$ y $t_3$ en la figura, tienen áreas 4, 9 y 49, respectivamente. Encuentra el área de $\triangle ABC$. [asy] size(200); pathpen=black+linewidth(0.65);pointpen=black; pair A=(0,0),B=(12,0),C=(4,5); D(A--B--C--cycle); D(A+(B-A)*3/4--A+(C-A)*3/4); D(B+(C-B)*5/6--B+(A-B)*5/6);D(C+(B-C)*5/12--C+(A-C)*5/12); MP("A",C,N);MP("B",A,SW);MP("C",B,SE); /* sorry mixed up points according to resources diagram. */ MP("t_3",(A+B+(B-A)*3/4+(A-B)*5/6)/2+(-1,0.8),N); MP("t_2",(B+C+(B-C)*5/12+(C-B)*5/6)/2+(-0.3,0.1),WSW); MP("t_1",(A+C+(C-A)*3/4+(A-C)*5/12)/2+(0,0.15),ESE);[/asy]

El entero \(n\) es el menor múltiplo positivo de 15 tal que cada dígito de \(n\) es 8 o 0. Calcula \(\frac{n}{15}\).

1 Encuentra el valor de $a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{98}$ si $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\dots$ es una progresión aritmética con diferencia común 1, y $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{98} = 137$ .

15 Tres cuadrados de 12 cm $\times$ 12 cm se cortan cada uno en dos piezas $A$ y $B$, como se muestra en la primera figura, uniendo los puntos medios de dos lados adyacentes. Estas seis piezas se unen luego a un hexágono regular, como se muestra en la segunda figura, para doblarse y formar un poliedro. ¿Cuál es el volumen (en $\text{cm}^3$) de este poliedro? [asy] defaultpen(fontsize(10)); size(250); draw(shift(0, sqrt(3)+1)*scale(2)*rotate(45)*polygon(4)); draw(shift(-sqrt(3)*(sqrt(3)+1)/2, -(sqrt(3)+1)/2)*scale(2)*rotate(165)*polygon(4)); draw(shift(sqrt(3)*(sqrt(3)+1)/2, -(sqrt(3)+1)/2)*scale(2)*rotate(285)*polygon(4)); filldraw(scale(2)*polygon(6), white, black); pair X=(2,0)+sqrt(2)*dir(75), Y=(-2,0)+sqrt(2)*dir(105), Z=(2*dir(300))+sqrt(2)*dir(225); pair[] roots={2*dir(0), 2*dir(60), 2*dir(120), 2*dir(180), 2*dir(240), 2*dir(300)}; draw(roots[0]--X--roots[1]); label("$B$", centroid(roots[0],X,roots[1])); draw(roots[2]--Y--roots[3]); label("$B$", centroid(roots[2],Y,roots[3])); draw(roots[4]--Z--roots[5]); label("$B$", centroid(roots[4],Z,roots[5])); label("$A$", (1+sqrt(3))*dir(90)); label("$A$", (1+sqrt(3))*dir(210)); label("$A$", (1+sqrt(3))*dir(330)); draw(shift(-10,0)*scale(2)*polygon(4)); draw((sqrt(2)-10,0)--(-10,sqrt(2))); label("$A$", (-10,0)); label("$B$", centroid((sqrt(2)-10,0),(-10,sqrt(2)),(sqrt(2)-10, sqrt(2))));[/asy]

14 En un torneo, cada jugador jugó exactamente un juego contra cada uno de los demás jugadores. En cada juego, el ganador recibía 1 punto, el perdedor obtenía 0 puntos, y cada uno de los dos jugadores ganaba 1/2 punto si el juego era un empate. Después de completarse el torneo, se encontró que exactamente la mitad de los puntos obtenidos por cada jugador fueron ganados contra los diez jugadores con la menor cantidad de puntos. (En particular, cada uno de los diez jugadores con menor puntaje ganó la mitad de sus puntos contra los otros nueve de esos diez). ¿Cuál era el número total de jugadores en el torneo?

13 Los números en la secuencia 101, 104, 109, 116, $\dots$ son de la forma $a_n = 100 + n^2$, donde $n = 1$, 2, 3, $\dots$. Para cada $n$, sea $d_n$ el máximo común divisor de $a_n$ y $a_{n + 1}$. Encuentra el valor máximo de $d_n$ cuando $n$ recorre los enteros positivos.

3 Para todo $t\in\mathbb{R}$ , sea $L_t$ el segmento de recta que une $(0,1)$ con $(t,0)$ . Suponga que $L_t$ interseca la parábola $y=x^2$ en el punto $P_t$ . Defina $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ como $f(t)=$ la coordenada $y$ de $P_t$ . Responda las siguientes preguntas con justificación: (a) ¿Es $f$ continua? (b) ¿Es $f$ acotada? (c) ¿Cuál es $\lim_{t\to\infty} f(t)$ ? (d) ¿Es $f$ diferenciable en $0$ ?

2 Sean $a,b,c$ números reales tales que $a^2+b^2+c^2=4$ . (a) Halle el valor del determinante de una matriz $A=\begin{pmatrix} a+b & b+c & c+a \\ b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \end{pmatrix}$ . (b) Halle los valores máximo y mínimo del determinante anterior.

1 Suponga que la siguiente ecuación de función generatriz es correcta; demuestre el siguiente enunciado: $\Pi_{i=1}^{\infty} (1+x^{3i})\Pi_{j=1}^{\infty} (1-x^{6j+3})=1$ Enunciado: El número de particiones de $n$ en números que no son de la forma $6k+1$ ni $6k-1$ es igual al número de particiones de $n$ en las que cada sumando aparece al menos dos veces. (10 puntos) Propuesto por Morteza Saghafian