2 Halle todas las funciones $f: \Bbb{R}_{0}^{+}\rightarrow \Bbb{R}_{0}^{+}$ con las siguientes propiedades: (a) Se tiene $f\left( xf\left( y\right) \right) \cdot f\left( y\right) =f\left( x+y\right)$ para todos $x$ e $y$ . (b) Se tiene $f\left(2\right) = 0$ . (c) Para todo $x$ con $0 < x < 2$ , el valor $f\left(x\right)$ no es igual a $0$ . NOTA. Denotamos por $\Bbb{R}_{0}^{+}$ el conjunto de todos los números reales no negativos. darij

3 Adjuntamos a los vértices de un hexágono regular los números $1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $0$ , $0$ . Ahora, se nos permite transformar los números mediante las siguientes reglas: (a) Podemos sumar un entero arbitrario a los números de dos vértices opuestos. (b) Podemos sumar un entero arbitrario a los números de tres vértices que forman un triángulo equilátero. (c) Podemos restar un entero $t$ de uno de los seis números y sumar simultáneamente $t$ a los dos números vecinos. ¿Podemos, simplemente actuando varias veces según estas reglas, obtener una permutación cíclica de los números iniciales? (Es decir, empezamos con $1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $0$ , $0$ ; ¿podemos ahora obtener $0$ , $1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $0$ , o $0$ , $0$ , $1$ , $0$ , $0$ , $0$ , o $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $0$ , $0$ , o $0$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $0$ , o $0$ , $0$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ ?) darij

4 Sean los enteros positivos $x_1$ , $x_2$ , $...$ , $x_{100}$ que satisfacen la ecuación \[\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}=20.\] Muestre que al menos dos de estos enteros son iguales entre sí. darij

2 Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en su interior. Denote por $D$ , $E$ , $F$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $P$ a las rectas $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Suponga que \[AP^2 + PD^2 = BP^2 + PE^2 = CP^2 + PF^2.\] Denote por $I_A$ , $I_B$ , $I_C$ los excentros del triángulo $ABC$ . Demuestre que $P$ es el circuncentro del triángulo $I_AI_BI_C$ . Propuesto por C.R. Pranesachar, India

1 Sea n un entero positivo. Halle todos los números complejos $x_{1}$ , $x_{2}$ , ..., $x_{n}$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: $x_{1}+2x_{2}+...+nx_{n}=0$ , $x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+...+nx_{n}^{2}=0$ , ... $x_{1}^{n}+2x_{2}^{n}+...+nx_{n}^{n}=0$ . darij

4 Halle todas las funciones $f:\Bbb {R} \rightarrow \Bbb {R} $ tales que : $$f(x+y)f(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$$ para todos los reales $x, y $ .

2 Tres puntos distintos $A$ , $B$ y $C$ están fijos sobre una recta en este orden. Sea $\Gamma$ un círculo que pasa por $A$ y $C$ cuyo centro no está sobre la recta $AC$ . Denote por $P$ la intersección de las tangentes a $\Gamma$ en $A$ y $C$ . Suponga que $\Gamma$ corta al segmento $PB$ en $Q$ . Demuestre que la intersección de la bisectriz de $\angle AQC$ con la recta $AC$ no depende de la elección de $\Gamma$ . darij

1 Considere pares de sucesiones de números reales positivos \[a_1\geq a_2\geq a_3\geq\cdots,\qquad b_1\geq b_2\geq b_3\geq\cdots\] y las sumas \[A_n = a_1 + \cdots + a_n,\quad B_n = b_1 + \cdots + b_n;\qquad n = 1,2,\ldots.\] Para cada par defina $c_n = \min\{a_i,b_i\}$ y $C_n = c_1 + \cdots + c_n$ , $n=1,2,\ldots$ . (1) ¿Existe un par $(a_i)_{i\geq 1}$ , $(b_i)_{i\geq 1}$ tal que las sucesiones $(A_n)_{n\geq 1}$ y $(B_n)_{n\geq 1}$ sean no acotadas mientras que la sucesión $(C_n)_{n\geq 1}$ sea acotada? (2) ¿Cambia la respuesta a la pregunta (1) si se supone adicionalmente que $b_i = 1/i$ , $i=1,2,\ldots$ ? Justifique su respuesta. darij

2 Sea $d$ un diámetro de un círculo $k$ , y sea $A$ un punto arbitrario sobre este diámetro $d$ en el interior de $k$ . Además, sea $P$ un punto en el exterior de $k$ . El círculo con diámetro $PA$ corta al círculo $k$ en los puntos $M$ y $N$ . Halle todos los puntos $B$ sobre el diámetro $d$ en el interior de $k$ tales que \[\measuredangle MPA = \measuredangle BPN \quad \text{and} \quad PA \leq PB.\] (es decir, dé una descripción explícita de estos puntos sin usar los puntos $M$ y $N$ ) . darij

3 Sea $f(k)$ el número de enteros $n$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $0\leq n < 10^k$ de modo que $n$ tiene exactamente $k$ dígitos (en notación decimal), permitiéndose ceros a la izquierda; (ii) los dígitos de $n$ pueden permutarse de tal manera que produzcan un entero divisible por $11$ . Demuestre que $f(2m) = 10f(2m-1)$ para todo entero positivo $m$ . Propuesto por Dirk Laurie, Sudáfrica darij